A distribuição de Cauchy é famosa por não ter média definida, mas possui um parâmetro de localização
. Se
, então
segue uma distribuição Cauchy Padrão (livre de
). Se os quantis de
e
da Cauchy Padrão são
e 12,7 , e observamos
, qual o IC de
para o centro da distribuição
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Temos
. - Definimos
. Então é uma Cauchy padrão (não depende de ). - O enunciado informa os quantis de
e da Cauchy padrão: são e respectivamente. Ou seja, tomando e , - Observamos o dado
. - O que se pede: um intervalo de confiança de
para o parâmetro de localização .
Passo 2
Idéia do método (explicação didática do pivô): como
tem distribuição conhecida independente de
, podemos usar um intervalo de probabilidade para
e reescrevê-lo em termos de
. Isso gera um intervalo de confiança sem depender de estimativas complicadas — é um uso direto de uma quantidade pivô.
Sabendo que
substituímos
e obtemos
Passo 3
Agora fazemos a manipulação algébrica da desigualdade para isolar
. Partimos de
Subtraindo
de todos os lados:
Multiplicando por
e invertendo os sinais das desigualdades:
Reescrevendo de forma ordenada (menor para maior):
Portanto, para quaisquer valores
que satisfaçam
, o intervalo
é um intervalo de confiança de
para
.
Passo 4
Substituímos os números dados e a observação
. Usando
e
:
- Limite inferior:
(explicando a conta: .) - Limite superior:
Passo 5
Interpretação final curta e intuitiva: o intervalo
é um intervalo de confiança de
para o parâmetro de localização
. A construção usou o pivô
que tem distribuição padrão conhecida e aproveitou os quantis simétricos da Cauchy padrão.