A distribuição de Cauchy é famosa por não ter média definida, mas possui um parâmetro de localização \theta. Se X \sim \operatorname{Cauchy}(\theta, 1), então Q=X-\theta segue uma distribuição Cauchy Padrão (livre de \theta ). Se os quantis de 2,5 \% e 97,5 \% da Cauchy Padrão são -12,7 e 12,7 , e observamos x=5, qual o IC de 95 \% para o centro da distribuição \theta ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Temos X \sim \operatorname{Cauchy}(\theta,1).
  • Definimos Q = X - \theta. Então Q é uma Cauchy padrão (não depende de \theta).
  • O enunciado informa os quantis de 2{,}5\% e 97{,}5\% da Cauchy padrão: são -12,7 e 12,7 respectivamente. Ou seja, tomando a=-12,7 e b=12,7, \mathbb{P}\bigl(a \le Q \le b\bigr)=0{,}95.
  • Observamos o dado x=5.
  • O que se pede: um intervalo de confiança de 95\% para o parâmetro de localização \theta.

Passo 2

Idéia do método (explicação didática do pivô): como Q=X-\theta tem distribuição conhecida independente de \theta, podemos usar um intervalo de probabilidade para Q e reescrevê-lo em termos de \theta. Isso gera um intervalo de confiança sem depender de estimativas complicadas — é um uso direto de uma quantidade pivô.
Sabendo que
\mathbb{P}\bigl(a \le Q \le b\bigr)=0{,}95,
substituímos Q=X-\theta e obtemos
\mathbb{P}\bigl(a \le X-\theta \le b\bigr)=0{,}95.

Passo 3

Agora fazemos a manipulação algébrica da desigualdade para isolar \theta. Partimos de
a \le X-\theta \le b.
Subtraindo X de todos os lados:
a - X \le -\theta \le b - X.
Multiplicando por -1 e invertendo os sinais das desigualdades:
-(a - X) \ge \theta \ge -(b - X).
Reescrevendo de forma ordenada (menor para maior):
X - b \le \theta \le X - a.
Portanto, para quaisquer valores a,b que satisfaçam \mathbb{P}(a\le Q\le b)=0{,}95, o intervalo
\bigl[X-b,\;X-a\bigr]
é um intervalo de confiança de 95\% para \theta.

Passo 4

Substituímos os números dados e a observação x=5. Usando a=-12,7 e b=12,7:
  • Limite inferior: X - b = 5 - 12,7 = -7,7.(explicando a conta: 5-12{,}7 = -(12{,}7-5)=-(7{,}7)=-7{,}7.)
  • Limite superior: X - a = 5 - (-12,7) = 5 + 12,7 = 17,7.

Passo 5

Interpretação final curta e intuitiva: o intervalo \bigl(-7{,}7,\;17{,}7\bigr) é um intervalo de confiança de 95\% para o parâmetro de localização \theta. A construção usou o pivô X-\theta que tem distribuição padrão conhecida e aproveitou os quantis simétricos da Cauchy padrão.

Resposta

\theta \in (-7,7,\;17,7)

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