A distribuição de Pareto é muito usada em Atuária para modelar grandes perdas. Seja X uma perda que segue uma Pareto com parâmetro de forma \alpha (e mínimo 1), tal que f(x ; \alpha)=\alpha x^{-(\alpha+1)}. Sabe-se que Q=\alpha \cdot \log (X) segue uma distribuição Exponencial de média 1. Para uma perda observada x=10, isole \alpha e encontre um IC de 90 \% para esse parâmetro. (Dica: Para \operatorname{Exp}(1), os quantis de 5 \% e 95 \% são 0,051 e 2,99 ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informação: X tem distribuição Pareto com parâmetro de forma \alpha e mínimo 1, com densidade
f(x;\alpha)=\alpha x^{-(\alpha+1)},\qquad x\ge 1.
  • Informação/observação: foi observada uma perda x=10.
  • Informação útil dada (dica): Q=\alpha\cdot\log(X) segue \operatorname{Exp}(1) (ou seja, exponencial com média 1). Também foram fornecidos os quantis da \operatorname{Exp}(1): 5\% é 0{,}051 e 95\% é 2{,}99.
  • O que é pedido:
    1. Isolar \alpha (ou seja, escrever \alpha em função de Q e/ou de X);
    2. Com a observação x=10, encontrar um intervalo de confiança de 90\% para \alpha.

Passo 2

Explicação didática do pivô Q e por que ele é útil.
  • Defina Y=\log(X). Vamos deduzir a distribuição de Y a partir da densidade de X. Use a mudança de variável x=\mathrm{e}^y (para y\ge 0, pois x\ge1 implica y\ge0).
  • A fórmula da mudança de variável para densidade é: se X tem densidade f_X(x) e Y=g(X) invertível, então
f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\cdot\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|.
  • Aqui g^{-1}(y)=\mathrm{e}^y e \frac{d}{dy}\mathrm{e}^y=\mathrm{e}^y. Então
f_Y(y)=f_X(\mathrm{e}^y)\cdot \mathrm{e}^y = \alpha (\mathrm{e}^y)^{-(\alpha+1)}\cdot \mathrm{e}^y = \alpha \mathrm{e}^{-\alpha y},\qquad y\ge 0.
  • Portanto Y=\log(X) tem distribuição exponencial com parâmetro (taxa) \alpha, isto é Y\sim\operatorname{Exp}(\text{rate}=\alpha). Em notação de média, a média de Y é 1/\alpha.
  • Multiplicando Y por \alpha obtemos Q=\alpha Y=\alpha\log(X). Se Y\sim\operatorname{Exp}(\text{rate}=\alpha), então \alpha Y\sim\operatorname{Exp}(\text{rate}=1), ou seja \alpha\log(X)\sim\operatorname{Exp}(1). Isso confirma o que o enunciado disse.
  • Por que isso é útil? Porque Q é um pivô: sua distribuição não depende de \alpha. Podemos usar quantis da \operatorname{Exp}(1) para construir um intervalo que envolva Q com probabilidade conhecida e, em seguida, inverter a desigualdade para obter um intervalo para \alpha.

Passo 3

Construção do intervalo de confiança usando os quantis da \operatorname{Exp}(1).
  • Se Q=\alpha\log(X)\sim\operatorname{Exp}(1), então, usando os quantis dados, vale
P\big(0{,}051 \le Q \le 2{,}99\big)=0{,}90,
pois 0{,}051 e 2{,}99 são os quantis de 5\% e 95\% da \operatorname{Exp}(1).
  • Substituindo Q=\alpha\log(X) obtemos a desigualdade probabilística
P\big(0{,}051 \le \alpha\log(X) \le 2{,}99\big)=0{,}90.
  • Para transformar isso em um intervalo para \alpha, isolamos \alpha na desigualdade. Observe que \log(X)\ge 0 sempre (igual a zero apenas se X=1); como no nosso caso observado x=10 temos \log(10)>0, podemos dividir por \log(X) sem trocar o sentido das desigualdades:
P\!\left(\frac{0{,}051}{\log(X)} \le \alpha \le \frac{2{,}99}{\log(X)}\right)=0{,}90.
  • Isso nos dá a forma geral do intervalo de confiança de 90\% para \alpha baseado numa única observação X:
\left[\frac{0{,}051}{\log(X)},\\ \frac{2{,}99}{\log(X)}\right].

Passo 4

Aplicando a observação x=10 e calculando numericamente.
  • Para x=10 temos \log(10). Usando logaritmo natural:
\log(10)\approx 2{,}302585093.
  • Agora calcule os extremos do intervalo dividindo os quantis pelos logaritmos:
\text{limite inferior}=\frac{0{,}051}{\log(10)}\approx \frac{0{,}051}{2{,}302585093}\approx 0{,}02215\ldots
\text{limite superior}=\frac{2{,}99}{\log(10)}\approx \frac{2{,}99}{2{,}302585093}\approx 1{,}2993\ldots
  • Arredondando de forma razoável (duas ou três casas decimais é suficiente para um IC), podemos escrever o intervalo como
\left[\,0{,}0222,\;1{,}299\,\right].

Passo 5

Interpretação e observações finais (curta e motivadora).
  • Interpretação: com base na observação x=10 e no pivô \alpha\log(X)\sim\operatorname{Exp}(1), um intervalo de confiança de nível 90\% para o parâmetro \alpha é aproximadamente \left[0{,}0222,\;1{,}299\right]. Isso significa que, sob o modelo Pareto considerado, o procedimento usado tem 90\% de chance de produzir um intervalo que contenha o verdadeiro \alpha.
  • Observação prática: o intervalo é bastante amplo (começa muito próximo de zero e vai até cerca de 1{,}3), o que reflete a informação relativamente fraca de uma única observação para estimar \alpha. Se tiver mais observações, o intervalo costuma ficar muito mais estreito — bom motivo para coletar mais dados quando possível!
  • Força aí, você já tem o procedimento: identificar um pivô com distribuição conhecida, usar quantis e inverter para \alpha. Isso é uma técnica poderosa para provas e para prática.

Resposta

\displaystyle \alpha \in \left[\dfrac{0{,}051}{\log(10)},\\ \dfrac{2{,}99}{\log(10)}\right]
\displaystyle \alpha \in [0{,}0222,\\\ 1{,}299]

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