A distribuição de Pareto é muito usada em Atuária para modelar grandes perdas. Seja X uma perda que segue uma Pareto com parâmetro de forma \alpha (e mínimo 1), tal que f(x ; \alpha)=\alpha x^{-(\alpha+1)}. Sabe-se que Q=\alpha \cdot \log (X) segue uma distribuição Exponencial de média 1. Para uma perda observada x=10, isole \alpha e encontre um IC de 90 \% para esse parâmetro. (Dica: Para \operatorname{Exp}(1), os quantis de 5 \% e 95 \% são 0,051 e 2,99 ).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
Informação: X tem distribuição Pareto com parâmetro de forma \alpha e mínimo 1, com densidade
f(x;\alpha)=\alpha x^{-(\alpha+1)},\qquad x\ge 1.
Informação/observação: foi observada uma perda x=10.
Informação útil dada (dica): Q=\alpha\cdot\log(X) segue \operatorname{Exp}(1) (ou seja, exponencial com média 1). Também foram fornecidos os quantis da \operatorname{Exp}(1): 5\% é 0{,}051 e 95\% é 2{,}99.
O que é pedido:
Isolar \alpha (ou seja, escrever \alpha em função de Q e/ou de X);
Com a observação x=10, encontrar um intervalo de confiança de 90\% para \alpha.
Passo 2
Explicação didática do pivô Q e por que ele é útil.
Defina Y=\log(X). Vamos deduzir a distribuição de Y a partir da densidade de X. Use a mudança de variável x=\mathrm{e}^y (para y\ge 0, pois x\ge1 implica y\ge0).
A fórmula da mudança de variável para densidade é: se X tem densidade f_X(x) e Y=g(X) invertível, então
Portanto Y=\log(X) tem distribuição exponencial com parâmetro (taxa) \alpha, isto é Y\sim\operatorname{Exp}(\text{rate}=\alpha). Em notação de média, a média de Y é 1/\alpha.
Multiplicando Y por \alpha obtemos Q=\alpha Y=\alpha\log(X). Se Y\sim\operatorname{Exp}(\text{rate}=\alpha), então \alpha Y\sim\operatorname{Exp}(\text{rate}=1), ou seja \alpha\log(X)\sim\operatorname{Exp}(1). Isso confirma o que o enunciado disse.
Por que isso é útil? Porque Q é um pivô: sua distribuição não depende de \alpha. Podemos usar quantis da \operatorname{Exp}(1) para construir um intervalo que envolva Q com probabilidade conhecida e, em seguida, inverter a desigualdade para obter um intervalo para \alpha.
Passo 3
Construção do intervalo de confiança usando os quantis da \operatorname{Exp}(1).
Se Q=\alpha\log(X)\sim\operatorname{Exp}(1), então, usando os quantis dados, vale
P\big(0{,}051 \le Q \le 2{,}99\big)=0{,}90,
pois 0{,}051 e 2{,}99 são os quantis de 5\% e 95\% da \operatorname{Exp}(1).
Substituindo Q=\alpha\log(X) obtemos a desigualdade probabilística
Para transformar isso em um intervalo para \alpha, isolamos \alpha na desigualdade. Observe que \log(X)\ge 0 sempre (igual a zero apenas se X=1); como no nosso caso observado x=10 temos \log(10)>0, podemos dividir por \log(X) sem trocar o sentido das desigualdades:
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas decimais é suficiente para um IC), podemos escrever o intervalo como
\left[\,0{,}0222,\;1{,}299\,\right].
Passo 5
Interpretação e observações finais (curta e motivadora).
Interpretação: com base na observação x=10 e no pivô \alpha\log(X)\sim\operatorname{Exp}(1), um intervalo de confiança de nível 90\% para o parâmetro \alpha é aproximadamente \left[0{,}0222,\;1{,}299\right]. Isso significa que, sob o modelo Pareto considerado, o procedimento usado tem 90\% de chance de produzir um intervalo que contenha o verdadeiro \alpha.
Observação prática: o intervalo é bastante amplo (começa muito próximo de zero e vai até cerca de 1{,}3), o que reflete a informação relativamente fraca de uma única observação para estimar \alpha. Se tiver mais observações, o intervalo costuma ficar muito mais estreito — bom motivo para coletar mais dados quando possível!
Força aí, você já tem o procedimento: identificar um pivô com distribuição conhecida, usar quantis e inverter para \alpha. Isso é uma técnica poderosa para provas e para prática.