O tempo de falha de um sensor segue uma Weibull com parâmetro de escala \lambda e forma k=2 (conhecido). A quantidade Q=(X / \lambda)^{2} segue uma distribuição Exponencial de média 1. Se o sensor falhou em x=100 horas, determine o IC de 95 \% para o parâmetro de escala \lambda.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo foi dado no enunciado):
A variável tempo de falha X segue uma Weibull com parâmetro de forma conhecido k=2 e parâmetro de escala \lambda desconhecido.
Foi observado que o sensor falhou em x=100 horas.
Foi dada a observação teórica: \displaystyle Q=\left(\dfrac{X}{\lambda}\right)^{2} segue uma distribuição Exponencial de média 1.
O que se pede: construir um intervalo de confiança de 95\% para o parâmetro de escala \lambda.
Passo 2
Entendendo e usando a informação sobre Q.
Explicação didática do que significa dizer que Q é Exponencial de média 1:
A distribuição Exponencial de média 1 tem função densidade f_Q(q)=e^{-q}, para q\ge 0. Isso também é a mesma que uma distribuição \Gamma(\alpha=1,\\ \beta=1) (forma 1, escala 1).
Aqui definimos \displaystyle Q=\left(\dfrac{X}{\lambda}\right)^{2}. Note que Q depende dos dados X e do parâmetro \lambda que queremos estimar.
A vantagem: Q é uma quantidade cuja distribuição é conhecida e NÃO depende de \lambda (além de entrar na definição de Q pela combinação com X). Esse tipo de quantidade é chamada de “quantidade pivô” — é muito útil para construir intervalos de confiança porque sua distribuição é conhecida.
Passo 3
Relacionando Q com umaqui distribuição conhecida mais conveniente para quantis.
Fato útil (propriedade das distribuições):
Se Q\sim Exponencial( média 1 ), então Q\sim\Gamma(1,1).
Para variáveis gama com parâmetro de forma inteiro, existe relação com qui-quadrado. Em particular, para \Gamma(\alpha,2) vale 2 vezes a variável é \chi^{2} com 2\alpha graus de liberdade. No nosso caso, Q tem escala 1, então 2Q tem distribuição \chi^{2} com 2 graus de liberdade.
onde \chi^{2}_{2,p} denota o p-ésimo quantil da \chi^{2} com 2 graus de liberdade.
Agora isolamos \lambda na desigualdade. Dividindo por 2 e tirando raiz quadrada (lembrando que \lambda>0 e X>0):
Invertendo as desigualdades (quando invertendo frações com \lambda no denominador, os sentidos ficam conforme abaixo) obtemos o intervalo para \lambda:
Aplicando os números para nível 95\% e a observação x=100.
Aqui \alpha=0{,}05, então \alpha/2=0{,}025 e 1-\alpha/2=0{,}975.
Para \chi^{2}_{2} existe uma expressão simples do quantil, porque se Y\sim\chi^{2}_{2} então a função de distribuição é F_Y(y)=1-e^{-y/2}. Invertendo:
Interpretação rápida do resultado (motivacional e didática).
O intervalo de confiança de 95\% encontrado é o intervalo que, construído a partir do procedimento usado, conteria o verdadeiro valor de \lambda em 95\% das repetições do experimento sob as mesmas condições.
Aqui, com uma única observação x=100, o intervalo ficou bastante largo (de aproximadamente 52 a 629 horas), o que é esperado: com um só dado a incerteza sobre a escala é grande.
Dica prática para prova: quando souber que uma transformação leva a uma exponencial ou a um qui-quadrado, pense em construir o pivô e inverter as desigualdades para \lambda como fizemos; esse é um método padrão para ICs para parâmetros de distribuição.