O tempo de falha de um sensor segue uma Weibull com parâmetro de escala \lambda e forma k=2 (conhecido). A quantidade Q=(X / \lambda)^{2} segue uma distribuição Exponencial de média 1. Se o sensor falhou em x=100 horas, determine o IC de 95 \% para o parâmetro de escala \lambda.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo abaixo foi dado no enunciado):
  • A variável tempo de falha X segue uma Weibull com parâmetro de forma conhecido k=2 e parâmetro de escala \lambda desconhecido.
  • Foi observado que o sensor falhou em x=100 horas.
  • Foi dada a observação teórica: \displaystyle Q=\left(\dfrac{X}{\lambda}\right)^{2} segue uma distribuição Exponencial de média 1.
  • O que se pede: construir um intervalo de confiança de 95\% para o parâmetro de escala \lambda.

Passo 2

Entendendo e usando a informação sobre Q.
Explicação didática do que significa dizer que Q é Exponencial de média 1:
  • A distribuição Exponencial de média 1 tem função densidade f_Q(q)=e^{-q}, para q\ge 0. Isso também é a mesma que uma distribuição \Gamma(\alpha=1,\\ \beta=1) (forma 1, escala 1).
  • Aqui definimos \displaystyle Q=\left(\dfrac{X}{\lambda}\right)^{2}. Note que Q depende dos dados X e do parâmetro \lambda que queremos estimar.
  • A vantagem: Q é uma quantidade cuja distribuição é conhecida e NÃO depende de \lambda (além de entrar na definição de Q pela combinação com X). Esse tipo de quantidade é chamada de “quantidade pivô” — é muito útil para construir intervalos de confiança porque sua distribuição é conhecida.

Passo 3

Relacionando Q com umaqui distribuição conhecida mais conveniente para quantis.
Fato útil (propriedade das distribuições):
  • Se Q\sim Exponencial( média 1 ), então Q\sim\Gamma(1,1).
  • Para variáveis gama com parâmetro de forma inteiro, existe relação com qui-quadrado. Em particular, para \Gamma(\alpha,2) vale 2 vezes a variável é \chi^{2} com 2\alpha graus de liberdade. No nosso caso, Q tem escala 1, então 2Q tem distribuição \chi^{2} com 2 graus de liberdade.
  • Concluímos que
2Q=2\left(\dfrac{X}{\lambda}\right)^{2}\sim \chi^{2}_{2}.
Isto é, a variável aleatória 2(X/\lambda)^2 tem uma distribuição \chi^{2} com 2 graus de liberdade, independente de \lambda.

Passo 4

Construção do intervalo de confiança usando a desigualdade de probabilidade da qui-quadrado.
Para um nível de confiança 1-\alpha (aqui 1-\alpha=0{,}95, então \alpha=0{,}05), podemos usar os quantis da \chi^{2}_{2} para escrever
\mathbb{P}\!\left(\chi^{2}_{2,\alpha/2}\le 2\left(\dfrac{X}{\lambda}\right)^{2}\le \chi^{2}_{2,1-\alpha/2}\right)=1-\alpha,
onde \chi^{2}_{2,p} denota o p-ésimo quantil da \chi^{2} com 2 graus de liberdade.
Agora isolamos \lambda na desigualdade. Dividindo por 2 e tirando raiz quadrada (lembrando que \lambda>0 e X>0):
\sqrt{\dfrac{\chi^{2}_{2,\alpha/2}}{2}}\le \dfrac{X}{\lambda}\le \sqrt{\dfrac{\chi^{2}_{2,1-\alpha/2}}{2}}.
Invertendo as desigualdades (quando invertendo frações com \lambda no denominador, os sentidos ficam conforme abaixo) obtemos o intervalo para \lambda:
\dfrac{X}{\sqrt{\dfrac{\chi^{2}_{2,1-\alpha/2}}{2}}}\le \lambda \le \dfrac{X}{\sqrt{\dfrac{\chi^{2}_{2,\alpha/2}}{2}}}.
Portanto o intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \lambda é
\left[\dfrac{X}{\sqrt{\chi^{2}_{2,1-\alpha/2}/2}}\\ ,\\ \dfrac{X}{\sqrt{\chi^{2}_{2,\alpha/2}/2}}\right].

Passo 5

Aplicando os números para nível 95\% e a observação x=100.
Aqui \alpha=0{,}05, então \alpha/2=0{,}025 e 1-\alpha/2=0{,}975.
Para \chi^{2}_{2} existe uma expressão simples do quantil, porque se Y\sim\chi^{2}_{2} então a função de distribuição é F_Y(y)=1-e^{-y/2}. Invertendo:
\chi^{2}_{2,p}=-2\ln(1-p).
Portanto:
\chi^{2}_{2,0{,}975}=-2\ln(1-0{,}975)=-2\ln(0{,}025),
\chi^{2}_{2,0{,}025}=-2\ln(1-0{,}025)=-2\ln(0{,}975).
Agora calculamos numericamente (mostrando os passos):
\chi^{2}_{2,0{,}975}=-2\ln(0{,}025)\approx 7{,}3777589,
\chi^{2}_{2,0{,}025}=-2\ln(0{,}975)\approx 0{,}0506356.

Passo 6

Calcular as raízes e os limites do intervalo.
Primeiro calculamos \sqrt{\chi^{2}_{2,p}/2} para cada quantil:
\sqrt{\dfrac{\chi^{2}_{2,0{,}975}}{2}}=\sqrt{\dfrac{7{,}3777589}{2}}=\sqrt{3{,}68887945}\approx 1{,}920337,
\sqrt{\dfrac{\chi^{2}_{2,0{,}025}}{2}}=\sqrt{\dfrac{0{,}0506356}{2}}=\sqrt{0{,}0253178}\approx 0{,}159133.
Agora substituímos X=x=100 e obtemos os limites:
\lambda_{\text{inferior}}=\dfrac{100}{1{,}920337}\approx 52{,}08,
\lambda_{\text{superior}}=\dfrac{100}{0{,}159133}\approx 628{,}54.

Passo 7

Interpretação rápida do resultado (motivacional e didática).
  • O intervalo de confiança de 95\% encontrado é o intervalo que, construído a partir do procedimento usado, conteria o verdadeiro valor de \lambda em 95\% das repetições do experimento sob as mesmas condições.
  • Aqui, com uma única observação x=100, o intervalo ficou bastante largo (de aproximadamente 52 a 629 horas), o que é esperado: com um só dado a incerteza sobre a escala é grande.
  • Dica prática para prova: quando souber que uma transformação leva a uma exponencial ou a um qui-quadrado, pense em construir o pivô e inverter as desigualdades para \lambda como fizemos; esse é um método padrão para ICs para parâmetros de distribuição.

Resposta

\displaystyle \lambda \in [52{,}08,\;628{,}54]\\ \text{horas}

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