1. Um fio infinitamente longo é percorrido por uma corrente de 2A ao longo de +z. Calcule:
a) B em (-3, 4, 7)

Passo 1

O enunciado dá um fio infinitamente longo, percorrido por uma corrente de 2\\ \mathrm{A} no sentido +z. Pede-se calcular o campo magnético no ponto (-3,\,4,\,7).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Corrente: I=2\\ \mathrm{A}.
  • Sentido da corrente: ao longo de +z.
  • Ponto onde calcular: (-3,\,4,\,7).
    O que é pedido: o vetor \mathbf{B} no ponto indicado (valor e direção).

Passo 2

Qual método usar e por quê. Uma corrente infinita e reta tem alta simetria: o módulo do campo magnético depende apenas da distância radial ao eixo do fio e o campo é tangencial (circunda o fio). Por isso é mais simples usar diretamente a forma conhecida obtida por Ampère/ Biot–Savart para um fio retilíneo infinito:
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A};
  • I é a corrente;
  • r é a distância perpendicular do ponto ao eixo do fio.
    Além do módulo, a direção de \mathbf{B} é azimutal ( \hat{\varphi}), dada pela regra da mão direita (para corrente em +z, o campo circula no sentido anti-horário visto de cima).

Passo 3

Calcular a distância radial r do ponto (-3,\,4,\,7) ao eixo do fio (assumindo fio coincidente com o eixo z). A distância perpendicular ao eixo z é a norma do vetor (x,y):
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o módulo B usando a fórmula:
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, I=2\\ \mathrm{A} e r=5\\ \mathrm{m}:
B=\frac{(4\pi\times10^{-7})\cdot 2}{2\pi\cdot 5} =\frac{8\pi\times10^{-7}}{10\pi} =\frac{8\times10^{-7}}{10}=8\times10^{-8}\\ \mathrm{T}.
Portanto o módulo do campo magnético no ponto é 8\times10^{-8}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Encontrar a direção e os componentes vetoriais. Em coordenadas cartesianas, a direção azimutal \hat{\varphi} pode ser escrita como
\hat{\varphi}= \left(-\frac{y}{r},\;\frac{x}{r},\;0\right),
logo uma forma conveniente para o vetor \mathbf{B} é
\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{2\pi r^{2}}\,(-y,\;x,\;0).
Esta expressão dá diretamente os componentes em \hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{y}},\hat{\mathbf{z}}.

Passo 6

Substituir os valores x=-3, y=4, r=5 na expressão vetorial e calcular componentes. Primeiro o fator:
\frac{\mu_0 I}{2\pi r^{2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})\cdot 2}{2\pi\cdot 25} =\frac{8\pi\times10^{-7}}{50\pi} =\frac{8\times10^{-7}}{50}=1{,}6\times10^{-8}\\ \mathrm{T/m}.
Agora os componentes:
B_x = 1{,}6\times10^{-8}\cdot(-y)=1{,}6\times10^{-8}\cdot(-4)=-6{,}4\times10^{-8}\\ \mathrm{T},
B_y = 1{,}6\times10^{-8}\cdot x=1{,}6\times10^{-8}\cdot(-3)=-4{,}8\times10^{-8}\\ \mathrm{T},
B_z = 0.
Verificação rápida do módulo a partir dos componentes:
\sqrt{(-6{,}4\times10^{-8})^{2}+(-4{,}8\times10^{-8})^{2}} =\sqrt{(40{,}96+23{,}04)\times10^{-16}} =\sqrt{64\times10^{-16}}=8\times10^{-8}\\ \mathrm{T},
coincidindo com o cálculo do Passo 4.

Passo 7

Interpretação física curta e encorajamento: o campo está no plano xy (sem componente z) e aponta no sentido tangencial determinado pela regra da mão direita. Nos componentes obtidos ambos são negativos porque o ponto (-3,4) está no segundo quadrante; para corrente em +z o campo tangencial aí aponta com componentes negativas em x e y. Boa! Agora já tem a fórmula pronta para usar rapidamente em prova.

Resposta

\mathbf{B} = -6{,}4\times10^{-8}\,\hat{\mathbf{x}} \;-\;4{,}8\times10^{-8}\,\hat{\mathbf{y}} \;+\;0\,\hat{\mathbf{z}}\\ \mathrm{T}

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