A distribuição Gaussiana em uma dimensão e usualmente escrita como
em que
e
.
Mostre que
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a densidade Gaussiana unidimensional
com
e
.
A pergunta é: mostrar que
A pergunta é: mostrar que
Lista das informações relevantes dadas:
- A função
está escrita explicitamente (constante multiplicativa e expoente quadrático). - Os parâmetros
e são reais, com . - É preciso calcular e provar que a integral sobre toda a reta real vale
.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a integral por uma mudança de variável que remova a dependência em
e escale por
. Isso deixa a integral numa forma padrão. Fazemos a substituição de variável
Expliquei: esta substituição centraliza a gaussiana em zero e mede
em unidades de
. Diferenciando, obtemos
Os limites
e
permanecem os mesmos sob essa afinidade.
Passo 3
Aplicando a substituição na integral:
Com
e
, isso vira
Observe que a dependência em
desapareceu e o fator
cancelou com
de
.
Passo 4
Definimos agora a integral padrão (aquela que precisamos calcular):
Com isso a integral original é
Portanto basta mostrar que
.
Passo 5
Técnica clássica para calcular
: calcular
como integral dupla e passar para coordenadas polares. Escrevemos
onde introduzimos uma segunda variável
para formar a integral dupla. Isso é válido porque o integrando é não-negativo e as integrais convergem.
Passo 6
Agora convertemos a integral dupla para coordenadas polares
no plano
. Em coordenadas polares:
com
e
. O elemento de área muda conforme o jacobiano:
O expoente torna-se
. Assim
Expliquei: a simetria circular do integrando justifica perfeitamente essa mudança.
Passo 7
Separando as integrais em
e
:
Agora calculamos o integral radial com uma substituição simples. Seja
. Então
e, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Logo
Portanto
Passo 8
Da igualdade
e sabendo que
(já que é integral de função positiva), obtemos
Passo 9
Voltando à expressão obtida no Passo 3:
Assim a densidade está corretamente normalizada. Comentário rápido e amigável: esse cálculo mostra por que aparece o fator
na frente da exponencial — ele normaliza a curva para que a área total seja
.
Resposta
1