A distribuição Gaussiana em uma dimensão e usualmente escrita como
p\left(x ; x_{o}, \sigma\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} e^{-\frac{\left(x-x_{o}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}},
em que -\infty<x<\infty,-\infty<x_{0}<\infty e \sigma^{2}>0.
Mostre que \int_{-\infty}^{\infty} p\left(x ; x_{0}, \sigma\right) d x=1

Passo 1

O enunciado dá a densidade Gaussiana unidimensional
p\left(x ; x_{0}, \sigma\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}},
com -\infty<x<\infty,\\\ -\infty<x_{0}<\infty e \sigma^{2}>0.
A pergunta é: mostrar que
\int_{-\infty}^{\infty} p\left(x ; x_{0}, \sigma\right)\,dx = 1.
Lista das informações relevantes dadas:
  • A função p(x;x_{0},\sigma) está escrita explicitamente (constante multiplicativa e expoente quadrático).
  • Os parâmetros x_{0} e \sigma são reais, com \sigma>0.
  • É preciso calcular e provar que a integral sobre toda a reta real vale 1.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a integral por uma mudança de variável que remova a dependência em x_{0} e escale por \sigma. Isso deixa a integral numa forma padrão. Fazemos a substituição de variável
u=\frac{x-x_{0}}{\sigma}.
Expliquei: esta substituição centraliza a gaussiana em zero e mede x em unidades de \sigma. Diferenciando, obtemos
dx=\sigma\,du.
Os limites -\infty e +\infty permanecem os mesmos sob essa afinidade.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral:
\int_{-\infty}^{\infty} p\left(x ; x_{0}, \sigma\right)\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\, e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx.
Com x=x_{0}+\sigma u e dx=\sigma\,du, isso vira
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\, e^{-\frac{\sigma^{2}u^{2}}{2\sigma^{2}}}\,\sigma\,du = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{u^{2}}{2}}\,du.
Observe que a dependência em x_{0} desapareceu e o fator \sigma cancelou com \sigma de \sqrt{\sigma^{2}}.

Passo 4

Definimos agora a integral padrão (aquela que precisamos calcular):
I:=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{u^{2}}{2}}\,du.
Com isso a integral original é
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,I.
Portanto basta mostrar que I=\sqrt{2\pi}.

Passo 5

Técnica clássica para calcular I: calcular I^{2} como integral dupla e passar para coordenadas polares. Escrevemos
I^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{u^{2}}{2}}\,du\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{v^{2}}{2}}\,dv\right) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{u^{2}+v^{2}}{2}}\,du\,dv,
onde introduzimos uma segunda variável v para formar a integral dupla. Isso é válido porque o integrando é não-negativo e as integrais convergem.

Passo 6

Agora convertemos a integral dupla para coordenadas polares (r,\theta) no plano (u,v). Em coordenadas polares:
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
com r\in[0,\infty) e \theta\in[0,2\pi). O elemento de área muda conforme o jacobiano:
du\,dv = r\,dr\,d\theta.
O expoente torna-se u^{2}+v^{2}=r^{2}. Assim
I^{2}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-\frac{r^{2}}{2}}\,r\,dr\,d\theta.
Expliquei: a simetria circular do integrando justifica perfeitamente essa mudança.

Passo 7

Separando as integrais em \theta e r:
I^{2}=\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\infty} r\,e^{-\frac{r^{2}}{2}}\,dr\right) = 2\pi \cdot \int_{0}^{\infty} r\,e^{-\frac{r^{2}}{2}}\,dr.
Agora calculamos o integral radial com uma substituição simples. Seja t=\frac{r^{2}}{2}. Então dt = r\,dr e, quando r vai de 0 a \infty, t vai de 0 a \infty. Logo
\int_{0}^{\infty} r\,e^{-\frac{r^{2}}{2}}\,dr = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = 1.
Portanto
I^{2} = 2\pi \cdot 1 = 2\pi.

Passo 8

Da igualdade I^{2}=2\pi e sabendo que I>0 (já que é integral de função positiva), obtemos
I=\sqrt{2\pi}.

Passo 9

Voltando à expressão obtida no Passo 3:
\int_{-\infty}^{\infty} p\left(x ; x_{0}, \sigma\right)\,dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,I = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\sqrt{2\pi} = 1.
Assim a densidade está corretamente normalizada. Comentário rápido e amigável: esse cálculo mostra por que aparece o fator 1/\sqrt{2\pi\sigma^{2}} na frente da exponencial — ele normaliza a curva para que a área total seja 1.

Resposta

1

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