com -\infty<x<\infty, -\infty<x_{0}<\infty e \sigma^{2}>0.
O que o exercício pede é: mostrar que a variância, definida por \left\langle (x-\langle x\rangle)^{2}\right\rangle, vale exatamente \sigma^{2}.
Informações relevantes que temos:
A função p(x;x_{0},\sigma) é uma densidade (está normalizada).
O parâmetro x_{0} aparece como o centro do quadrado no expoente.
O parâmetro \sigma controla a largura da distribuição e aparece dentro do fator de normalização.
Passo 2
Definições fundamentais (aquelas que vamos usar e que valem para qualquer densidade contínua):
O primeiro integral é 1 porque p(x) é densidade normalizada.
No segundo integral, faça a mudança de variável u=x-x_{0}. Então o integrando torna-se u vezes uma função par de u multiplicada por uma normalização; como u é ímpar e o resto é par, a integral sobre toda a reta vale zero. Formalmente:
O termo de fronteira é \displaystyle \lim_{u\to\infty} \bigl(-u e^{-u^{2}/2}\bigr)-\lim_{u\to-\infty}\bigl(-u e^{-u^{2}/2}\bigr)=0 porque u e^{-u^{2}/2}\to 0 em ambos os limites.
O segundo termo é -\int_{-\infty}^{\infty}(-e^{-u^{2}/2})\,du=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^{2}/2}\,du.
Portanto
I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^{2}/2}\,du.
Mas o integral à direita é o integral normalizador da gaussiana padrão, conhecido ser \sqrt{2\pi}. Assim
Interpretação rápida e amiga: a mudança de variável centraliza e normaliza a distribuição; o integral do quadrado do desvio na forma adimensional dá 1, e a escala vem como \sigma^{2}. Assim \sigma^{2} é exatamente a variância.