A distribuição Gaussiana em uma dimensão e usualmente escrita como
p\left(x ; x_{o}, \sigma\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} e^{-\frac{\left(x-x_{o}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}},
em que -\infty<x<\infty,-\infty<x_{0}<\infty e \sigma^{2}>0.
Constate que \left\langle(x-\langle x\rangle)^{2}\right\rangle=\sigma^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade Gaussiana unidimensional
p\left(x; x_{0}, \sigma\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\,e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}},
com -\infty<x<\infty, -\infty<x_{0}<\infty e \sigma^{2}>0.
O que o exercício pede é: mostrar que a variância, definida por \left\langle (x-\langle x\rangle)^{2}\right\rangle, vale exatamente \sigma^{2}.
Informações relevantes que temos:
  • A função p(x;x_{0},\sigma) é uma densidade (está normalizada).
  • O parâmetro x_{0} aparece como o centro do quadrado no expoente.
  • O parâmetro \sigma controla a largura da distribuição e aparece dentro do fator de normalização.

Passo 2

Definições fundamentais (aquelas que vamos usar e que valem para qualquer densidade contínua):
  • A esperança (valor esperado) de x é
\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x\, p(x)\,dx.
Explanação: isto é a média ponderada dos valores x, com pesos dados pela densidade p(x).
  • A variância é
\mathrm{Var}(x)=\left\langle (x-\langle x\rangle)^{2}\right\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} (x-\langle x\rangle)^{2}\,p(x)\,dx.
Explanação: variância mede a dispersão em torno da média; calcula-se a média do quadrado do desvio em relação à média.
Nosso objetivo concreto: calcular \langle x\rangle para esta densidade e depois calcular \mathrm{Var}(x).

Passo 3

Cálculo de \langle x\rangle.
Começamos escrevendo
\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x\,\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx.
Uma boa estratégia é separar x em x_{0}+(x-x_{0}):
\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \bigl(x_{0}+(x-x_{0})\bigr)\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx.
Distribuindo a integral:
\langle x\rangle = x_{0}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx}_{=1} +\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} (x-x_{0})\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx}_{=0}.
Explicando cada termo:
  • O primeiro integral é 1 porque p(x) é densidade normalizada.
  • No segundo integral, faça a mudança de variável u=x-x_{0}. Então o integrando torna-se u vezes uma função par de u multiplicada por uma normalização; como u é ímpar e o resto é par, a integral sobre toda a reta vale zero. Formalmente:
\int_{-\infty}^{\infty} (x-x_{0})\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx =\int_{-\infty}^{\infty} u\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{u^{2}}{2\sigma^{2}}}\,du = 0.
Portanto
\langle x\rangle = x_{0}.
Comentário amigo: isso já dá intuição — x_{0} é o centro (média) da gaussiana.

Passo 4

Cálculo da variância \mathrm{Var}(x)=\left\langle (x-\langle x\rangle)^{2}\right\rangle.
Como já vimos \langle x\rangle = x_{0}, temos
\mathrm{Var}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} (x-x_{0})^{2}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{(x-x_{0})^{2}}{2\sigma^{2}}}\,dx.
Agora fazemos a mudança de variável de escala que simplifica tudo: defina
u=\frac{x-x_{0}}{\sigma}\quad\Longrightarrow\quad x-x_{0}=\sigma u,\qquad dx=\sigma\,du.
Substituindo:
\mathrm{Var}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} (\sigma u)^{2}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{(\sigma u)^{2}}{2\sigma^{2}}}\,\sigma\,du.
Simplificando os fatores:
\mathrm{Var}(x)=\frac{\sigma^{3}}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}\int_{-\infty}^{\infty} u^{2}\,e^{-\frac{u^{2}}{2}}\,du.
Note que \sqrt{2\pi\sigma^{2}}=\sigma\sqrt{2\pi}, então
\frac{\sigma^{3}}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}=\frac{\sigma^{3}}{\sigma\sqrt{2\pi}}=\frac{\sigma^{2}}{\sqrt{2\pi}}.
Logo
\mathrm{Var}(x)=\frac{\sigma^{2}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} u^{2}\,e^{-\frac{u^{2}}{2}}\,du.

Passo 5

Avaliação do integral chave \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} u^{2}e^{-u^{2}/2}\,du.
Este é um integral padrão; podemos calculá‑lo por partes. Defina
I=\int_{-\infty}^{\infty} u^{2}e^{-u^{2}/2}\,du.
Faça a decomposição u^{2}=u\cdot u e escolha a integração por partes com:
a(u)=u,\qquad db(u)=u e^{-u^{2}/2}\,du.
Então da=du e, observando que \dfrac{d}{du}\bigl(e^{-u^{2}/2}\bigr)=-u e^{-u^{2}/2}, temos
b(u)=\int u e^{-u^{2}/2}\,du = -e^{-u^{2}/2}.
Aplicando integração por partes em [-\infty,\infty]:
I=\bigl[a(u)b(u)\bigr]_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} b(u)\,da(u).
Calculando os termos:
  • O termo de fronteira é \displaystyle \lim_{u\to\infty} \bigl(-u e^{-u^{2}/2}\bigr)-\lim_{u\to-\infty}\bigl(-u e^{-u^{2}/2}\bigr)=0 porque u e^{-u^{2}/2}\to 0 em ambos os limites.
  • O segundo termo é -\int_{-\infty}^{\infty}(-e^{-u^{2}/2})\,du=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^{2}/2}\,du.
Portanto
I=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^{2}/2}\,du.
Mas o integral à direita é o integral normalizador da gaussiana padrão, conhecido ser \sqrt{2\pi}. Assim
\int_{-\infty}^{\infty} u^{2}e^{-u^{2}/2}\,du = \sqrt{2\pi}.

Passo 6

Concluir o valor da variância usando o resultado do passo anterior.
Voltando à expressão obtida em passo 4:
\mathrm{Var}(x)=\frac{\sigma^{2}}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} u^{2}e^{-u^{2}/2}\,du =\frac{\sigma^{2}}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sqrt{2\pi}=\sigma^{2}.
Interpretação rápida e amiga: a mudança de variável centraliza e normaliza a distribuição; o integral do quadrado do desvio na forma adimensional dá 1, e a escala vem como \sigma^{2}. Assim \sigma^{2} é exatamente a variância.

Resposta

\sigma^{2}

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