Extremos em uma reta Encontre os valores extremos locais de f(x, y)=x^{2} y na reta x+y=3.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre os valores extremos locais de f(x,y)=x^{2}y na reta x+y=3.”
Informações dadas:
  • A função a otimizar é f(x,y)=x^{2}y.
  • A restrição é a reta x+y=3.
  • Pedido: encontrar extremos locais de f sobre todos os pontos (x,y) que satisfazem x+y=3.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): como a restrição é uma reta simples, o jeito mais direto é eliminar uma variável usando a equação da reta e transformar o problema num problema de uma variável. Isso é legal porque restringir f à reta nos dá uma função de uma variável só, e aí usamos cálculo de uma variável para achar extremos locais.
Como resolver a equação da reta em função de x: da reta x+y=3 segue
y=3-x.
Esse é o dado que vou usar para substituir y em f.

Passo 3

Definir a função de uma variável obtida pela restrição: substituindo y=3-x em f(x,y),
g(x)=f(x,3-x)=x^{2}(3-x).
É útil expandir para facilitar derivações:
g(x)=3x^{2}-x^{3}.

Passo 4

Conceito importante (mini-aula): para encontrar extremos locais de uma função g(x) de uma variável, procuramos os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Aqui g é polinomial, então a derivada existe em todo lugar. Calculamos a derivada:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-x^{3}\bigr)=6x-3x^{2}.
Fatorando a derivada para resolver a equação g'(x)=0,
g'(x)=3x(2-x).

Passo 5

Encontrar os pontos críticos resolvendo g'(x)=0:
3x(2-x)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
Obter os pontos (x,y) na reta usando y=3-x:
  • Para x=0: y=3-0=3. Ponto (0,3).
  • Para x=2: y=3-2=1. Ponto (2,1).

Passo 6

Classificação dos extremos (mini-aula sobre o teste da derivada segunda): para uma função g(x), se g''(x_0)>0 então x_0 é mínimo local; se g''(x_0)<0 então é máximo local; se g''(x_0)=0 o teste é inconclusivo.
Calcular a segunda derivada:
g''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(6x-3x^{2}\bigr)=6-6x=6(1-x).
Avaliar em cada ponto crítico:
  • Em x=0: g''(0)=6(1-0)=6>0. Logo x=0 é ponto de mínimo local para g (portanto (0,3) é mínimo local de f na reta).
  • Em x=2: g''(2)=6(1-2)=-6<0. Logo x=2 é ponto de máximo local para g (portanto (2,1) é máximo local de f na reta).

Passo 7

Calcular os valores de f nesses pontos:
f(0,3)=0^{2}\cdot 3=0, \qquad f(2,1)=2^{2}\cdot 1=4.

Passo 8

Observação sobre extremos globais (curiosidade útil para prova): a reta x+y=3 não é compacta (não é um conjunto fechado e limitado na reta), e g(x)=3x^{2}-x^{3} tem comportamento de cúbica: quando x\to+\infty temos g(x)\to -\infty e quando x\to -\infty temos g(x)\to +\infty. Portanto não existem extremos absolutos (globais) na reta; há apenas os extremos locais que já identificamos.

Resposta

Mínimo local: (0,3), com f(0,3)=0
Máximo local: (2,1), com f(2,1)=4

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