Extremos em uma reta Encontre os valores extremos locais de
na reta
.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre os valores extremos locais de
na reta
.”
Informações dadas:
- A função a otimizar é
. - A restrição é a reta
. - Pedido: encontrar extremos locais de
sobre todos os pontos que satisfazem .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): como a restrição é uma reta simples, o jeito mais direto é eliminar uma variável usando a equação da reta e transformar o problema num problema de uma variável. Isso é legal porque restringir
à reta nos dá uma função de uma variável só, e aí usamos cálculo de uma variável para achar extremos locais.
Como resolver a equação da reta em função de
: da reta
segue
Esse é o dado que vou usar para substituir
em
.
Passo 3
Definir a função de uma variável obtida pela restrição: substituindo
em
,
É útil expandir para facilitar derivações:
Passo 4
Conceito importante (mini-aula): para encontrar extremos locais de uma função
de uma variável, procuramos os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Aqui
é polinomial, então a derivada existe em todo lugar. Calculamos a derivada:
Fatorando a derivada para resolver a equação
,
Passo 5
Encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Obter os pontos
na reta usando
:
- Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto .
Passo 6
Classificação dos extremos (mini-aula sobre o teste da derivada segunda): para uma função
, se
então
é mínimo local; se
então é máximo local; se
o teste é inconclusivo.
Calcular a segunda derivada:
Avaliar em cada ponto crítico:
- Em
: . Logo é ponto de mínimo local para (portanto é mínimo local de na reta). - Em
: . Logo é ponto de máximo local para (portanto é máximo local de na reta).
Passo 7
Calcular os valores de
nesses pontos:
Passo 8
Observação sobre extremos globais (curiosidade útil para prova): a reta
não é compacta (não é um conjunto fechado e limitado na reta), e
tem comportamento de cúbica: quando
temos
e quando
temos
. Portanto não existem extremos absolutos (globais) na reta; há apenas os extremos locais que já identificamos.
Resposta
Mínimo local:
, com
Máximo local: , com
Máximo local: