A distribuição de Maxwell foi deduzida com argumentos da teoria das probabilidades. É possível deduzi-la, também, a partir da distribuição de Boltzmann, como se observou na Introdução. Faça a dedução.

Passo 1

Beleza! A questão pede para chegar na distribuição de velocidades de Maxwell (ou de Maxwell–Boltzmann) a partir da distribuição de Boltzmann canônica. Ou seja, a gente começa com
f(v),dv = 4pil(m2pi kTr)^3/2 v^2 e^-,m v^22kT,dv
onde , e vai derivar a famosa
Para isso vamos precisar de:
• Noções de distribuição de probabilidade canônica (fator de Boltzmann).
• Como normalizar integrais gaussianas em 3D.
• Mudança para coordenadas esféricas no espaço de velocidades.

Passo 2

Escrevendo a distribuição de Boltzmann no espaço de momentos:
f( p);=;C;expl(-beta,p^22mr),
com e .
Aqui é a constante de normalização, que garante
.

Passo 3

Vamos achar 1 = C integral R^3 e^-beta,p^2/(2m),d^3p = Cl(integral-infty^+infty e^-beta2mpx^2dpxr)^3 usando a integral gaussiana em 3D:
integral e^-beta2mpx^2dpx = raiz2pi mbeta
Sabendo que 1 = Cl(raiztfrac2pi mbetar)^3 Longrightarrow C = l(tfracbeta2pi mr)^3/2 = l(tfrac12pi m kTr)^3/2 , tomamos
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Passo 4

Agora passamos para velocidades: f v( v) = f( p),l|dettfracpartial ppartial vr| = C,e^-beta,m v^22,m^3 . A densidade em é

Passo 5

O que a gente quer é a distribuição do módulo da velocidade, d^3v = 4pi,v^2,dv . Em coordenadas esféricas:
f(v),dv = f v( v),d^3v = l(tfrac12pi m kTr)^3/2 m^3,e^-m v^22kT ,4pi v^2,dv
Então

Resposta

boxed f(v),dv ;=; 4pil(m2pi kTr)^3/2, v^2, exp!l(-m v^22kTr),dv

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