A distribuição de Maxwell foi deduzida com argumentos da teoria das probabilidades. É possível deduzi-la, também, a partir da distribuição de Boltzmann, como se observou na Introdução. Faça a dedução.
Passo 1
Beleza! A questão pede para chegar na distribuição de velocidades de Maxwell (ou de Maxwell–Boltzmann) a partir da distribuição de Boltzmann canônica. Ou seja, a gente começa com
onde , e vai derivar a famosa
Para isso vamos precisar de:
• Noções de distribuição de probabilidade canônica (fator de Boltzmann).
• Como normalizar integrais gaussianas em 3D.
• Mudança para coordenadas esféricas no espaço de velocidades.
Passo 2
Escrevendo a distribuição de Boltzmann no espaço de momentos:
com e .
Aqui é a constante de normalização, que garante .
Passo 3
Vamos achar usando a integral gaussiana em 3D:
Sabendo que , tomamos
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Passo 4
Agora passamos para velocidades: . A densidade em é
Passo 5
O que a gente quer é a distribuição do módulo da velocidade, d^3v = 4pi,v^2,dv . Em coordenadas esféricas:
f(v),dv = f v( v),d^3v = l(tfrac12pi m kTr)^3/2 m^3,e^-m v^22kT ,4pi v^2,dv