Calcular a velocidade de escape (isto é, a velocidade inicial mínima que um corpo tem que ter, na superfície de um planeta, para chegar com velocidade nula no infinito) de um planeta de raio
. Calcular o valor desta velocidade (a) na Terra, com
, (b) em Marte, com
e
. A que temperaturas as moléculas de
, de He e de
têm velocidades médias iguais a essas velocidades de escape? Que fração das moléculas desses gases têm velocidade suficiente para escapar de cada planeta quando a temperatura for de (a) 240 K e (b) 1.500 K? Cálculos deste tipo são importantes para se determinarem as composições das atmosferas planetárias.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a velocidade de escape de um planeta de raio
, depois aplicar isso à Terra e a Marte. Em seguida, para três gases (H
, He, O
) achar a temperatura tal que a velocidade média das moléculas seja igual a essa velocidade de escape, e finalmente estimar a fração de moléculas que vence essa barreira quando a temperatura valer 240 K e 1500 K.
Conteúdo:
Conteúdo:
- Energia potencial gravitacional e conservação de energia para achar
. - Teoria cinética dos gases: velocidade rms
. - Distribuição de Maxwell e cauda exponencial para estimar fração de moléculas acima de
.
Vamos precisar de:
- Fórmula
e ligar . - Constante de Boltzmann
J/K. - Massas molares convertidas em quilogramas por molécula:
- H
: kg - He:
- O
:
- H
Passo 2
Derivação de
por conservação de energia:
- Energia cinética inicial:
. - Para ir ao infinito com velocidade zero, precisa anular a energia potencial
.
Igualando:
Como
, temos
, então
Passo 3
Aplicando à Terra e a Marte:
- Terra:
m, m/s $$v_{\rm esc,T} = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot6{,}37\times10^6}\approx 1{,}12\times10^4\ \rm m/s = 11{,}2\ km/s. v_{\rm esc,M} = \sqrt{2\cdot3{,}76\cdot3{,}38\times10^6}\approx 5{,}04\times10^3\ \rm m/s = 5{,}0\ km/s.$$
Passo 4
Temperatura para que
.
Velocidade rms de uma molécula de massa :
Velocidade rms de uma molécula de massa
$$v_{\rm rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}\quad\Longrightarrow\quad
T = \frac{m,v_{\rm esc}^2}{3k},. $$
Convertendo massas ( kg):
- H :
kg
- He: kg
- O :
kg
Convertendo massas (
- H
- He:
- O
Calculando para cada planeta:
(a) Terra ( m/s)
(a) Terra (
- H
:$$T\approx\frac{3{,}32\times10{-27},(1{,}12\times104)2}{3\cdot1{,}38\times10{-23}}\approx1{,}0\times10^4\ \rm K. T\approx2{,}0\times10^4\ \rm K.$$ - O
:
(b) Marte (m/s)
- H: K
- He:K
- O: K
Passo 5
Fração de moléculas com
na distribuição de Maxwell:
Para uma estimativa rápida usamos a parte exponencial da cauda:
Para uma estimativa rápida usamos a parte exponencial da cauda:
Onde
A seguir, alguns valores aproximados:
-
Terra,
K - H
: m/s, - He:
m/s, - O
: m/s,
- H
-
Terra,
K - H
: m/s, - He:
m/s, - O
: m/s,
- H
-
Marte,
K - H
: m/s, - He:
m/s, - O
: m/s,
- H
-
Marte,
K - H
: m/s, - He:
m/s, - O
: m/s,
- H
Resposta
- Velocidade de escape:
- Terra:
km/s - Marte:
km/s
- Terra:
- Temperaturas para
: - Terra: H
K, He K, O K - Marte: H
K, He K, O K
- Terra: H
- Frações de moléculas com
:
Terra 240 K | Terra 1500 K | Marte 240 K | Marte 1500 K | |
---|---|---|---|---|
H
|
|
|
|
|
He |
|
|
|
|
O
|
|
|
|
|