Calcular a velocidade de escape (isto é, a velocidade inicial mínima que um corpo tem que ter, na superfície de um planeta, para chegar com velocidade nula no infinito) de um planeta de raio R. Calcular o valor desta velocidade (a) na Terra, com R=6,37 times 10^6 m, g=981 m s^-2, (b) em Marte, com R=3,38 times 10^6 m e m Marte / m Terra =0,108. A que temperaturas as moléculas de H2, de He e de O2 têm velocidades médias iguais a essas velocidades de escape? Que fração das moléculas desses gases têm velocidade suficiente para escapar de cada planeta quando a temperatura for de (a) 240 K e (b) 1.500 K? Cálculos deste tipo são importantes para se determinarem as composições das atmosferas planetárias.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a velocidade de escape de um planeta de raio R, depois aplicar isso à Terra e a Marte. Em seguida, para três gases (H 2, He, O 2) achar a temperatura tal que a velocidade média das moléculas seja igual a essa velocidade de escape, e finalmente estimar a fração de moléculas que vence essa barreira quando a temperatura valer 240 K e 1500 K.
Conteúdo:
  • Energia potencial gravitacional e conservação de energia para achar vrm esc.
  • Teoria cinética dos gases: velocidade rms vrm rms=raiz3kT/m.
  • Distribuição de Maxwell e cauda exponencial para estimar fração de moléculas acima de vrm esc.
    Vamos precisar de:
  1. Fórmula vrm esc=raiz2GM/R e ligar GM=gR^2.
  2. Constante de Boltzmann k=1,38times10^-23,J/K.
  3. Massas molares convertidas em quilogramas por molécula:
    • H 2: m=2,u=2times1,66times10^-27,kg
    • He: m=4,u
    • O 2: m=32,u

Passo 2

Derivação de vrm esc por conservação de energia:
  • Energia cinética inicial: tfrac12 m v^2.
  • Para ir ao infinito com velocidade zero, precisa anular a energia potencial -dfracGMmR.
    Igualando:
tfrac12 m vrm esc^2 = dfracGMmR longrightarrow vrm esc = raizdfrac2GMR,
Como g=GM/R^2, temos GM = gR^2, então
vrm esc = raiz2,g,R,

Passo 3

Aplicando à Terra e a Marte:
  • Terra: Rrm T=6,37times10^6,m, grm T=9,81,m/s ^2$$v_{\rm esc,T} = \sqrt{2\cdot9{,}81\cdot6{,}37\times10^6}\approx 1{,}12\times10^4\ \rm m/s = 11{,}2\ km/s. vrm esc,T = raiz2cdot9,81cdot6,37times10^6 approx 1,12times10^4 rm m/s = 11,2 km/sv_{\rm esc,M} = \sqrt{2\cdot3{,}76\cdot3{,}38\times10^6}\approx 5{,}04\times10^3\ \rm m/s = 5{,}0\ km/s.$$

Passo 4

Temperatura para que vrm rms=vrm esc.
Velocidade rms de uma molécula de massa m:
$$v_{\rm rms}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}\quad\Longrightarrow\quad
T = \frac{m,v_{\rm esc}^2}{3k},. $$
Convertendo massas ( vrm rms=raiz3kTmLongrightarrow T = m,vrm esc^23k, kg):
- H u=1,66times10^-27: 2 kg
- He: m=3,32times10^-27 kg
- O m=6,64times10^-27: 2 kg
Calculando para cada planeta:
(a) Terra ( m=5,31times10^-26 m/s)
  • H vrm esc,T=1,12times10^4:$$T\approx\frac{3{,}32\times10{-27},(1{,}12\times104)2}{3\cdot1{,}38\times10{-23}}\approx1{,}0\times10^4\ \rm K. 2T\approx2{,}0\times10^4\ \rm K.$$
  • O Tapprox3,32times10^-27,(1,12times10^4)^23cdot1,38times10^-23 approx1,0times10^4 rm K: Tapprox2,0times10^4 rm K
    (b) Marte ( 2 m/s)
    - H Tapprox1,6times10^5 rm K: vrm esc,M=5,04times10^3K
    - He: 2K
    - O Tapprox2,0times10^3,: Tapprox4,1times10^3,K

Passo 5

Fração de moléculas com v>vrm esc na distribuição de Maxwell:
Para uma estimativa rápida usamos a parte exponencial da cauda:
f(v>vrm esc)approx exp!(-vrm esc^22,vrm rms^2),
Onde vrm rms=raiz3kT/m em cada caso.
A seguir, alguns valores aproximados:
  1. Terra, T=240,K
    • H 2: vrm rmsapprox1,7times10^3,m/s, vrm esc/vrm rmsapprox6,5 Rightarrow fsim7times10^-10
    • He: vrm rmsapprox1,2times10^3,m/s, vrm esc/vrm rmsapprox9,2 Rightarrow fsim5times10^-19
    • O 2: vrm rmsapprox4,3times10^2,m/s, vrm esc/vrm rmsapprox26 Rightarrow fapprox0
  2. Terra, T=1500,K
    • H 2: vrm rmsapprox4,3times10^3,m/s, vrm esc/vrm rmsapprox2,6 Rightarrow fsim3,5times10^-2
    • He: vrm rmsapprox3,1times10^3,m/s, vrm esc/vrm rmsapprox3,7 Rightarrow fsim1,2times10^-3
    • O 2: vrm rmsapprox1,1times10^3,m/s, vrm esc/vrm rmsapprox10 Rightarrow fsim10^-23
  3. Marte, T=240,K
    • H 2: vrm rmsapprox1,7times10^3,m/s, vrm esc/vrm rmsapprox2,9 Rightarrow fsim1,4times10^-2
    • He: vrm rmsapprox1,2times10^3,m/s, vrm esc/vrm rmsapprox4,1 Rightarrow fsim2times10^-4
    • O 2: vrm rmsapprox4,3times10^2,m/s, vrm esc/vrm rmsapprox12 Rightarrow fapprox0
  4. Marte, T=1500,K
    • H 2: vrm rmsapprox4,3times10^3,m/s, vrm esc/vrm rmsapprox1,2 Rightarrow fsim5times10^-1
    • He: vrm rmsapprox3,1times10^3,m/s, vrm esc/vrm rmsapprox1,7 Rightarrow fsim2,6times10^-1
    • O 2: vrm rmsapprox1,1times10^3,m/s, vrm esc/vrm rmsapprox4,7 Rightarrow fsim2times10^-5

Resposta

  • Velocidade de escape:
    • Terra: vrm esc,Tapprox11,2,km/s
    • Marte: vrm esc,Mapprox5,0,km/s
  • Temperaturas para vrm rms=vrm esc:
    • Terra: H 2sim1,0times10^4 K, He sim2,0times10^4 K, O 2sim1,6times10^5 K
    • Marte: H 2sim2,0times10^3 K, He sim4,1times10^3 K, O 2sim3,3times10^4 K
  • Frações de moléculas com v>vrm esc:
Terra 240 K Terra 1500 K Marte 240 K Marte 1500 K
H 2 7!times10^-10 3,5%, 1,4%, 50%,
He 5!times10^-19 0,12%, 0,02%, 26%,
O 2 approx0 approx0 approx0 2!times10^-5

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