A distribuição das notas de um exame é aproximadamente normal com média 70 e desvio padrão 7.
Se considerarmos 49 estudantes que fizeram o exame, qual é a probabilidade que a média de suas notas esteja entre 68 e 72 ?

Passo 1

O enunciado diz que a nota de cada estudante é X\sim N(\mu=70,\sigma=7) e pergunta a probabilidade de a média de uma amostra de n=49 estudantes, \bar X, ficar entre 68 e 72. O conteúdo é distribuição amostral da média de variáveis normais (ou Teorema do Limite Central, que neste caso usa a normalidade exata).

Passo 2

Como X é normal, a média amostral \bar X também é normal com
\mu_{\bar X} = \mu = 70
e
\sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{7}{\sqrt{49}} = 1.

Passo 3

Padronizamos o intervalo em termos de Z\sim N(0,1):
P(68 \le \bar X \le 72) = P\!\Bigl(\frac{68-70}{1} \le Z \le \frac{72-70}{1}\Bigr) = P(-2 \le Z \le 2).

Passo 4

Usando tabela da normal padrão, \Phi(2)\approx0,97725 e \Phi(-2)=1-\Phi(2)\approx0,02275.
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P(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0,97725 - 0,02275 = 0,95450.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,9545 (ou 95{,}45\%).

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