A distribuição das notas de um exame é aproximadamente normal com média 70 e desvio padrão 7.
Qual é a probabilidade de que a diferença nas notas de 2 estudantes (escolhidos ao acaso) esteja entre -5 e 5.

Passo 1

O enunciado diz que cada nota de exame segue aproximadamente uma distribuição normal com média \mu=70 e desvio padrão \sigma=7. Queremos a probabilidade de que, ao escolher dois estudantes independentemente, a diferença das notas D = X - Y caia entre -5 e 5. Vamos usar a propriedade de que a diferença de duas variáveis normais independentes é também normal.

Passo 2

Sejam X e Y as notas dos dois estudantes, com
X \sim N(70,\,7^2), \quad Y \sim N(70,\,7^2),
e X independente de Y. Definimos D = X - Y. Pela teoria, D é normal com
E[D] = E[X] - E[Y], \quad \mathrm{Var}(D) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y).

Passo 3

Calculamos a média e a variância de D:
E[D] = 70 - 70 = 0,
\mathrm{Var}(D) = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 98,
logo o desvio padrão de D é
\sigma_D = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}.

Passo 4

Queremos
P(-5 \le D \le 5) = P\Bigl(\frac{-5 - 0}{7\sqrt{2}} \le Z \le \frac{5 - 0}{7\sqrt{2}}\Bigr),
onde Z\sim N(0,1). Calculamos o valor padronizado:
z = \frac{5}{7\sqrt{2}} \approx 0,505.

Passo 5

Pela tabela da normal padrão,
\Phi(0,505) \approx 0,6935.
Como a distribuição é simétrica,
P(-0,505 \le Z \le 0,505) = 2\,\Phi(0,505) - 1 \approx 2 \times 0,6935 - 1 = 0,3870.

Resposta

A probabilidade de a diferença estar entre -5 e 5 é aproximadamente 0{,}387 (ou 38{,}7\%).

Exercícios relacionados