A distribuição de temperatura através de uma parede de 0,3 m de espessura em um dado instante do tempo é dada por T(x)=a+b x+c x^2, em que T está em graus Celsius e x em metros, a=200^circ C, b=-200^circ C / m e c=30^circ C / m^2. A condutividade térmica da parede é de 1 W / m cdot K.
Determine a taxa de transferência de calor que entra e sai da parede e a taxa de variação da energia armazenada no interior da parede por unidade de área superficial.

Passo 1

O enunciado diz que, num instante dado, a temperatura em cada ponto de uma parede de espessura L=0,3,m é
T(x)=a+bx+cx^2
com a=200 ^circ C, b=-200 ^circ C/ m e c=30 ^circ C/ m^2. A condutividade térmica é k=1 W/!(mcdot K).
Conteúdo: condução de calor unidimensional, Lei de Fourier ( qx=-k, dT/ dx) e balanço de energia (fluxo que entra menos o que sai = energia acumulada). Vamos precisar de:
1) derivar T(x),
2) aplicar qx=-k,T'(x) nas faces x=0 e x=L,
3) calcular a diferença de fluxos para achar a taxa de energia armazenada por unidade de área.

Passo 2

Calcular o gradiente de temperatura:
dT dx=T'(x)=b+2c,x,
Substituindo b e c:
T'(x)=-200+2cdot30,x=-200+60,xl[^circ C/ mr]

Passo 3

Aplicar a Lei de Fourier (fluxo de calor no sentido + x):
q(x)=-,k,T'(x),
Como k=1, W/(m·K), fica simplesmente
q(x)=-,T'(x)l[ W/m^2r]

Passo 4

Calcular o fluxo que entra pela face x=0:
T'(0)=-200+60cdot0=-200 ^circ C/mLongrightarrow q(0)=-(-200)=200 W/m^2
Este é o calor entrando (positivo no nosso sinal).
Calcular o fluxo que sai pela face x=L=0,3,m:
T'(0,3)=-200+60cdot0,3=-200+18=-182 ^circ C/m
q(0.3)=-(-182)=182 W/m^2
Este é o calor saindo (no sentido + x).

Passo 5

Para saber a taxa de variação de energia armazenada (por área), usamos o balanço:
energia que entra − energia que sai = energia que fica acumulada.
dot erm acum = q(0)-q(0.3)=200-182=18 W/m^2

Resposta

Fluxo que entra na parede: 200 W/m^2.
Fluxo que sai da parede: 182 W/m^2.
Taxa de variação da energia armazenada (por unidade de área): 18 W/m^2.

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