A distribuição de velocidade para o escoamento em duas placas fixas paralelas é dada por
u(r)umax =[1-(2 yh)^2]
Onde h é a distância separando as placas e u max é a velocidade máxima que ocorre no centro do escoamento. A origem está situada na linha mediana entre as placas. Considerando o escoamento de água ( mu=0,00114 N s / m^2 ) com h=0,5 mm e u max =0,3 m / s :
a) Obtenha a tensão de cisalhamento na placa superior.
b) Informe qual o valor de tau no centro entre as placas. Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de velocidades entre duas placas paralelas fixas, com origem na linha mediana y=0, espaçamento h e velocidade máxima umax no centro. Pede a tensão de cisalhamento na placa superior (em y=+h/2) e no centro ( y=0). Para isso vamos usar a definição de tensão de cisalhamento em fluxo newtoniano:
tau(y) ;=;mu,dudy,,
onde mu é a viscosidade e du/dy é o gradiente de velocidade.

Passo 2

Começamos determinando du/dy. A velocidade é
u(y) = umaxl[1 - l(tfrac2yhr)^2r] = umaxl[1 - tfrac4y^2h^2r]
Diferenciando em relação a y,
dudy = umax,ddyl(1 - tfrac4y^2h^2r) = umax,l(-tfrac8yh^2r) = -8,umax,yh^2

Passo 3

Agora aplicamos tau(y)=mu,du/dy em y=+h/2. Logo,
tau!l(tfrach2r) = mu l(-8,umax,(h/2)h^2r) = -8,mu,umaxh^2cdoth2 = -4,mu,umaxh
Substituindo mu=0,00114 Ncdot s/m^2, umax=0,3 m/s e h=0,5 mm=5times10^-4 m,
tau!l(tfrach2r) = -4cdot0,00114cdot0,35times10^-4 approx -2,736 Pa
O sinal negativo indica que a força de cisalhamento na placa atua no sentido oposto ao gradiente de velocidade. A magnitude é 2,736 Pa.

Passo 4

No centro entre as placas ( y=0), do passo 2 temos
dudyl|y=0 = -8,umax,0h^2 =0,
logo
tau(0)=mucdot0=0
Fisicamente o gradiente de velocidade é nulo no ponto de máxima velocidade, portanto a tensão de cisalhamento ali é zero.

Resposta

a) taul(h/2r) = -2,736 Pa (magnitude 2,736 Pa).
b) tau(0)=0, pois o gradiente de velocidade no centro é zero.

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