A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas paralelas é dada por:
uu máx =1-(2 yh)^2 á
Onde h é a distância entre as duas placas; a origem é colocada na metade da distância entre elas. Considere o escoamento de água a 15^circ C(mu=1,14.10^-3 N Sm^2) com velocidade máxima de 0,05 m / s e h=5 mm. Calcule a força cisalhante sobre uma seção de 0,3 m^2 da placa inferior e forneça seu sentido.
Resposta: F=0,0137 N (para a direita)

Passo 1

Beleza, entendi o problema! A gente tem um escoamento laminar entre duas placas paralelas, com perfil de velocidade dado por
uumax ;=; 1 ;-;l(tfrac2yhr)^2
Onde:
  • h = distância entre as placas (5 mm).
  • A origem y=0 está no meio das placas, então a placa de baixo fica em y=–h/2.
  • A água a 15 °C tem viscosidade μ = 1,14×10⁻³ N·s/m², e a velocidade máxima uₘₐₓ = 0,05 m/s.
  • Precisamos achar a força de cisalhamento (F) exercida pela água em uma área A = 0,3 m² da placa inferior, e dizer pra que lado ela aponta.
Conteúdo: mecânica dos fluidos, estresse de cisalhamento (τ = μ du/dy) e derivada do perfil de velocidade.

Passo 2

Teoria rápida: o esforço de cisalhamento τ (também chamado de tensão de cisalhamento) numa face fixa é dado por
tau ;=; mu,dudy,
Então primeiro a gente calcula a derivada du/dy do perfil
u(y) = umaxl[1 - 4,(y/h)^2r]

Passo 3

Derivando em relação a y:
dudy = umax,ddyl[1 - 4,(y/h)^2r] = umax,l[-4 cdot 2,tfracyh^2r] = -,umax,8,yh^2
Essa fórmula vale pra qualquer y entre –h/2 e +h/2.

Passo 4

Agora, na placa inferior y = –h/2, a derivada vira
dudy|y=-h/2 = -,umax,8,(-h/2)h^2 = +,4,umaxh
Logo o cisalhamento na parede é
tauw = mu ,dudy|y=-h/2 = mu,4,umaxh

Passo 5

Basta agora colocar números:
tauw = (1,14times10^-3),4,(0,05)0,005 = 1,14times10^-3times 40 = 0,0456 Pa
E a força de cisalhamento sobre A=0,3 m² é
F = tauw ,A = 0,0456;times;0,3 = 0,01368 N

Resposta

F = 0,0137 N, apontando para a direita.

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