Explique a hipótese do contínuo.
Passo 1
Beleza, a gente precisa “Explicar a hipótese do contínuo”. Isso faz parte de Teoria dos Conjuntos, mais especificamente do estudo de cardinalidades de conjuntos infinitos. Pra resolver vamos precisar saber o que é tamanho (ou cardinalidade) de conjunto, especialmente para conjuntos infinitos (como os naturais 
  e os reais 
 ), e entender o que significa dizer que não existe um tamanho “entre” dois desses infinitos.
Passo 2
Primeiro, refrescando o conceito de cardinalidade:
- Dois conjuntos têm a mesma cardinalidade se existe uma bijeção (uma correspondência “um-pra-um e sobre”) entre eles.
 - O conjunto dos naturais, 
, tem cardinalidade chamada de (lê-se “alef-zero”).  - Quando falamos de conjuntos infinitos, dizer que um é “maior” que outro significa que não dá pra montar essa bijeção.
 
Passo 3
Agora, o conjunto dos reais, 
 , tem cardinalidade maior que 
 . Georg Cantor mostrou isso com seu famoso argumento da diagonalização. A gente chama a cardinalidade de 
  de 
 , ou simplesmente 
  (de “continuidade”), porque pode-se pensar nos reais como o conjunto de todas as sequências binárias infinitas, e há 
  escolhas para cada posição numa sequência contada 
  vezes.
Passo 4
A hipótese do contínuo (HC) diz, em palavras simples:
“Não existe nenhum conjunto cuja cardinalidade fique entre  (o tamanho de 
 ) e 
  (o tamanho de 
 ).”
Em fórmula:
“Não existe nenhum conjunto cuja cardinalidade fique entre
Em fórmula:
Passo 5
Por que isso importa?
- Se a HC for verdadeira, então todo conjunto infinito é ou ‘do tamanho’ de 
ou ‘do tamanho’ de .  - Se a HC for falsa, existem vários tamanhos infinitos “entremédios”.
 
Curiosamente, Kurt Gödel e Paul Cohen provaram que a hipótese do contínuo não pode ser nem provada nem refutada a partir dos axiomas comuns da Teoria dos Conjuntos (ZFC). Ela é independente desses axiomas.
Resposta
A hipótese do contínuo afirma que não há nenhum tamanho (cardinalidade) de conjunto entre o dos números naturais (
 ) e o dos números reais (
 ).