Explique a hipótese do contínuo.
Passo 1
Beleza, a gente precisa “Explicar a hipótese do contínuo”. Isso faz parte de Teoria dos Conjuntos, mais especificamente do estudo de cardinalidades de conjuntos infinitos. Pra resolver vamos precisar saber o que é tamanho (ou cardinalidade) de conjunto, especialmente para conjuntos infinitos (como os naturais
e os reais
), e entender o que significa dizer que não existe um tamanho “entre” dois desses infinitos.
Passo 2
Primeiro, refrescando o conceito de cardinalidade:
- Dois conjuntos têm a mesma cardinalidade se existe uma bijeção (uma correspondência “um-pra-um e sobre”) entre eles.
- O conjunto dos naturais,
, tem cardinalidade chamada de (lê-se “alef-zero”). - Quando falamos de conjuntos infinitos, dizer que um é “maior” que outro significa que não dá pra montar essa bijeção.
Passo 3
Agora, o conjunto dos reais,
, tem cardinalidade maior que
. Georg Cantor mostrou isso com seu famoso argumento da diagonalização. A gente chama a cardinalidade de
de
, ou simplesmente
(de “continuidade”), porque pode-se pensar nos reais como o conjunto de todas as sequências binárias infinitas, e há
escolhas para cada posição numa sequência contada
vezes.
Passo 4
A hipótese do contínuo (HC) diz, em palavras simples:
“Não existe nenhum conjunto cuja cardinalidade fique entre (o tamanho de
) e
(o tamanho de
).”
Em fórmula:
“Não existe nenhum conjunto cuja cardinalidade fique entre
Em fórmula:
Passo 5
Por que isso importa?
- Se a HC for verdadeira, então todo conjunto infinito é ou ‘do tamanho’ de
ou ‘do tamanho’ de . - Se a HC for falsa, existem vários tamanhos infinitos “entremédios”.
Curiosamente, Kurt Gödel e Paul Cohen provaram que a hipótese do contínuo não pode ser nem provada nem refutada a partir dos axiomas comuns da Teoria dos Conjuntos (ZFC). Ela é independente desses axiomas.
Resposta
A hipótese do contínuo afirma que não há nenhum tamanho (cardinalidade) de conjunto entre o dos números naturais (
) e o dos números reais (
).