Explique a hipótese do contínuo.

Passo 1

Beleza, a gente precisa “Explicar a hipótese do contínuo”. Isso faz parte de Teoria dos Conjuntos, mais especificamente do estudo de cardinalidades de conjuntos infinitos. Pra resolver vamos precisar saber o que é tamanho (ou cardinalidade) de conjunto, especialmente para conjuntos infinitos (como os naturais e os reais ), e entender o que significa dizer que não existe um tamanho “entre” dois desses infinitos.

Passo 2

Primeiro, refrescando o conceito de cardinalidade:
  • Dois conjuntos têm a mesma cardinalidade se existe uma bijeção (uma correspondência “um-pra-um e sobre”) entre eles.
  • O conjunto dos naturais, , tem cardinalidade chamada de (lê-se “alef-zero”).
  • Quando falamos de conjuntos infinitos, dizer que um é “maior” que outro significa que não dá pra montar essa bijeção.

Passo 3

Agora, o conjunto dos reais, , tem cardinalidade maior que . Georg Cantor mostrou isso com seu famoso argumento da diagonalização. A gente chama a cardinalidade de de , ou simplesmente (de “continuidade”), porque pode-se pensar nos reais como o conjunto de todas as sequências binárias infinitas, e há escolhas para cada posição numa sequência contada vezes.

Passo 4

A hipótese do contínuo (HC) diz, em palavras simples:
“Não existe nenhum conjunto cuja cardinalidade fique entre HC: não há kappa tal que a<=ph0 < kappa < 2^a<=ph0 (o tamanho de ) e (o tamanho de ).”
Em fórmula:
ãá

Passo 5

Por que isso importa?
  • Se a HC for verdadeira, então todo conjunto infinito é ou ‘do tamanho’ de ou ‘do tamanho’ de .
  • Se a HC for falsa, existem vários tamanhos infinitos “entremédios”.
Curiosamente, Kurt Gödel e Paul Cohen provaram que a hipótese do contínuo não pode ser nem provada nem refutada a partir dos axiomas comuns da Teoria dos Conjuntos (ZFC). Ela é independente desses axiomas.

Resposta

A hipótese do contínuo afirma que não há nenhum tamanho (cardinalidade) de conjunto entre o dos números naturais ( ) e o dos números reais ( ).

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