A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoninno mum canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equaçüo:
. O fluido apresenta viscosidnde dinâmica de
. Considerando
e área superficial de cada placa é igual à
, determinar a forca de atrito na placa superior e a velocidade máxima no escoamento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o escoamento de um fluido newtoniano entre duas placas paralelas e largas. A gente precisa encontrar duas coisas: a força de atrito na placa superior e a velocidade máxima do escoamento. Para isso, vamos usar conceitos de viscosidade dinâmica e distribuição de velocidades. Vamos por partes para ficar bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a distribuição de velocidades dada pela equação:
Aqui, $ v® $ é a velocidade do fluido em função da distância $ r $ a partir do centro entre as placas, e $ r_0 = 2 , mm = 0,002 , m $ é o raio máximo.
Passo 3
Para encontrar a velocidade máxima, vamos ver onde essa velocidade atinge o seu valor mais alto. Observando a equação, vemos que quando $ r = 0 $:
Portanto, a velocidade máxima no escoamento é 0,5 m/s.
Passo 4
Agora, vamos calcular a força de atrito na placa superior. Para isso, usamos a relação entre a tensão de cisalhamento $ \tau $, a viscosidade dinâmica $ \mu $ e o gradiente de velocidade $ \frac{dv}{dr} $:
Dado que $ \mu = 1 \times 10^{-1} , N \cdot s/m^2 $.
Passo 5
Vamos calcular o derivado da velocidade em relação a $ r $:
Derivando em relação a $ r $:
Passo 6
A força de atrito $ F $ é dada por:
Como queremos a força na placa superior, avaliamos $ \frac{dv}{dr} $ em $ r = r_0 = 0.002 , m $:
Passo 7
Agora, substituindo os valores:
O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento, mas estamos interessados apenas na magnitude.
Resposta
A força de atrito na placa superior é de 40 N e a velocidade máxima no escoamento é de 0,5 m/s.