A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoninno mum canal formado por duas placas paralelas e largas é dada pela equaçüo: v(r)=[0.5-0.5(rr)^2]. O fluido apresenta viscosidnde dinâmica de 1.10^-1 N s / m^2. Considerando r0=2 mm e área superficial de cada placa é igual à 0.8 m^2, determinar a forca de atrito na placa superior e a velocidade máxima no escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o escoamento de um fluido newtoniano entre duas placas paralelas e largas. A gente precisa encontrar duas coisas: a força de atrito na placa superior e a velocidade máxima do escoamento. Para isso, vamos usar conceitos de viscosidade dinâmica e distribuição de velocidades. Vamos por partes para ficar bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a distribuição de velocidades dada pela equação:
v(r) = [0.5 - 0.5 (rr0)^2 ]
Aqui, $ v® $ é a velocidade do fluido em função da distância $ r $ a partir do centro entre as placas, e $ r_0 = 2 , mm = 0,002 , m $ é o raio máximo.

Passo 3

Para encontrar a velocidade máxima, vamos ver onde essa velocidade atinge o seu valor mais alto. Observando a equação, vemos que quando $ r = 0 $:
r = 0
Portanto, a velocidade máxima no escoamento é 0,5 m/s.

Passo 4

Agora, vamos calcular a força de atrito na placa superior. Para isso, usamos a relação entre a tensão de cisalhamento $ \tau $, a viscosidade dinâmica $ \mu $ e o gradiente de velocidade $ \frac{dv}{dr} $:
tau
Dado que $ \mu = 1 \times 10^{-1} , N \cdot s/m^2 $.

Passo 5

Vamos calcular o derivado da velocidade em relação a $ r $:
r
Derivando em relação a $ r $:
v(r) = 0.5 - 0.5 (r0.002)^2

Passo 6

A força de atrito $ F $ é dada por:
F
Como queremos a força na placa superior, avaliamos $ \frac{dv}{dr} $ em $ r = r_0 = 0.002 , m $:
F = tau times A = mu dvdr times A

Passo 7

Agora, substituindo os valores:
F = 1 times 10^-1 times (-500) times 0.8 = -40 , N
O sinal negativo indica que a força está na direção oposta ao movimento, mas estamos interessados apenas na magnitude.

Resposta

A força de atrito na placa superior é de 40 N e a velocidade máxima no escoamento é de 0,5 m/s.

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