Considere um forno cúbico com lados de 30,5 cm, em que o topo e suas laterais podem ser considerados como corpos negros. A base do forno possui uma emissividade de 0,7 . As temperaturas da base, do topo e das laterais são mantidas a 171,3^circ C, 615,75 ^circ C e 1060,2^circ C, respectivamente. Determine a taxa de radiação transferida entre a base e as laterais; a base e o topo; e, também, a taxa de calor transferida para a base.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um forno em forma de cubo com lados de 30,5 cm. O topo e as laterais do forno são considerados como corpos negros, ou seja, eles absorvem e emitem radiação de forma ideal. A base do forno tem uma emissividade de 0,7, o que significa que ela não é um corpo negro perfeito. As temperaturas da base, topo e laterais são dadas como 171,3 °C, 615,75 °C e 1060,2 °C, respectivamente. Precisamos determinar:
  1. A taxa de radiação transferida entre a base e as laterais.
  2. A taxa de radiação transferida entre a base e o topo.
  3. A taxa de calor total transferida para a base.
Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Stefan-Boltzmann, que descreve a potência irradiada por um corpo devido à sua temperatura. Também precisamos considerar as emissividades dos materiais envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as temperaturas de Celsius para Kelvin, pois a Lei de Stefan-Boltzmann utiliza a temperatura absoluta.
A conversão é feita adicionando 273,15 à temperatura em Celsius:
TK = TC + 273,15
Então:
  • Base: 171,3°C + 273,15 = 444,45K
  • Topo: 615,75°C + 273,15 = 888,9K
  • Laterais: 1060,2°C + 273,15 = 1333,35K

Passo 3

Vamos calcular a área de cada face do cubo. Como o forno é cúbico, todas as faces têm a mesma área:
A = L^2
onde L é o comprimento do lado do cubo.
Convertendo 30,5 cm para metros:
L = 30,5cm = 0,305m
Então:
A = (0,305m)^2 = 0,093m² ²

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Lei de Stefan-Boltzmann, que é dada por:
P = sigma cdot epsilon cdot A cdot (Temissor^4 - Treceptor^4)
onde:
  • P é a potência irradiada,
  • sigma é a constante de Stefan-Boltzmann ( 5,67 times 10^-8 , W/m²K^4²),
  • epsilon é a emissividade do emissor,
  • A é a área,
  • Temissor e Treceptor são as temperaturas absolutas dos corpos em Kelvin.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a taxa de radiação transferida entre a base e as laterais.
Como as laterais são corpos negros, epsilonlaterais = 1. A base tem epsilonbase = 0,7.
Aplicando a fórmula:
Pbase-laterais = sigma cdot epsilonbase cdot A cdot (Tlaterais^4 - Tbase^4)
Substituindo os valores:
Pbase-laterais = 5,67 times 10^-8 cdot 0,7 cdot 0,093 cdot (1333,35^4 - 444,45^4)

Passo 6

Calculando 1333,35^4 e 444,45^4:
1333,35^4 approx 3,154 times 10^12 , K^4
444,45^4 approx 3,905 times 10^10 , K^4
Então:
Pbase-laterais = 5,67 times 10^-8 cdot 0,7 cdot 0,093 cdot (3,154 times 10^12 - 3,905 times 10^10)
Pbase-laterais approx 5,67 times 10^-8 cdot 0,7 cdot 0,093 cdot 3,115 times 10^12
Pbase-laterais approx 1,15 times 10^6 , W

Passo 7

Agora, vamos calcular a taxa de radiação transferida entre a base e o topo.
O topo é um corpo negro ( epsilontopo = 1). A base tem epsilonbase = 0,7.
Aplicando a fórmula:
Pbase-topo = sigma cdot epsilonbase cdot A cdot (Ttopo^4 - Tbase^4)
Substituindo os valores:
Pbase-topo = 5,67 times 10^-8 cdot 0,7 cdot 0,093 cdot (888,9^4 - 444,45^4)

Passo 8

Calculando 888,9^4 e 444,45^4:
888,9^4 approx 6,237 times 10^11 , K^4
444,45^4 approx 3,905 times 10^10 , K^4
Então:
Pbase-topo = 5,67 times 10^-8 cdot 0,7 cdot 0,093 cdot (6,237 times 10^11 - 3,905 times 10^10)
Pbase-topo approx 5,67 times 10^-8 cdot 0,7 cdot 0,093 cdot 5,846 times 10^11
Pbase-topo approx 2,72 times 10^5 , W

Passo 9

Por fim, vamos calcular a taxa de calor total transferida para a base. Isso inclui a radiação recebida do topo e das laterais.
Ptotal = Pbase-laterais + Pbase-topo
Substituindo os valores calculados:
Ptotal = 1,15 times 10^6 , W + 2,72 times 10^5 , W
Ptotal approx 1,42 times 10^6 , W

Resposta

A taxa de radiação transferida entre a base e as laterais é aproximadamente 1,15 times 10^6 , W, entre a base e o topo é aproximadamente 2,72 times 10^5 , W, e a taxa total de calor transferida para a base é aproximadamente 1,42 times 10^6 , W.

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