A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano em um canal formado por duas placas planas paralelas pode ser aproximada por , sendo e . Considerando e a área superficial de cada placa é igual à , determinar a força de atrito na placa superior e a velocidade média do escoamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de mecânica dos fluidos envolvendo um fluido newtoniano fluindo entre duas placas paralelas. O que a gente precisa descobrir aqui são duas coisas: a força de atrito na placa de cima e a velocidade média do fluxo. Para isso, vamos usar a fórmula da distribuição de velocidades e alguns conceitos básicos de viscosidade e fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a força de atrito na placa superior. A força de atrito em um fluido é relacionada à tensão de cisalhamento, que depende da viscosidade do fluido e da variação da velocidade com relação à distância das placas.
A fórmula para a tensão de cisalhamento (τ) é:
onde:
é a viscosidade do fluido,
é a derivada da velocidade em relação à posição .
Passo 3
Vamos derivar a função de velocidade que é dada por:
Derivando em relação a :
Na placa superior, a posição , então:
A tensão de cisalhamento na placa superior é então:
tau = mu cdot (-2 Umáxh) = 2 mu Umáxh áá
(Note que usamos o valor absoluto para a força, já que estamos interessados na magnitude.)
Passo 4
Agora, para encontrar a força de atrito (F), multiplicamos a tensão de cisalhamento pela área da placa:
F = tau cdot A = 2 mu Umáxh cdot A á
Substituindo os valores:
mu = 1 times 10^-3 , N⋅s/m^2, Umáx = 10 , m/s, h = 1 times 10^-3 , m, A = 0,4 , m^2 á
F = 2 times 1 times 10^-3 times 101 times 10^-3 times 0,4 = 2 times 10 times 0,4 = 8 , N
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade média do escoamento. A velocidade média (umédiaé) é a integral da velocidade em toda a seção dividida pela altura h: