A distribuição de velocidades do escoamento de um fluido newtoniano em um canal formado por duas placas planas paralelas pode ser aproximada por u=Umáx(1-y^2h^2)á, sendo Umáx=10 m / sá e h=1 mm. Considerando mu=1.10^-3 N s / m^2 e a área superficial de cada placa é igual à 0,4 m^2, determinar a força de atrito na placa superior e a velocidade média do escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de mecânica dos fluidos envolvendo um fluido newtoniano fluindo entre duas placas paralelas. O que a gente precisa descobrir aqui são duas coisas: a força de atrito na placa de cima e a velocidade média do fluxo. Para isso, vamos usar a fórmula da distribuição de velocidades e alguns conceitos básicos de viscosidade e fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a força de atrito na placa superior. A força de atrito em um fluido é relacionada à tensão de cisalhamento, que depende da viscosidade do fluido e da variação da velocidade com relação à distância das placas.
A fórmula para a tensão de cisalhamento (τ) é:
tau = mu cdot dudy
onde:
  • mu é a viscosidade do fluido,
  • dudy é a derivada da velocidade em relação à posição y.

Passo 3

Vamos derivar a função de velocidade u(y) que é dada por:
u = Umáx (1 - y^2h^2) á
Derivando em relação a y:
dudy = -2 cdot Umáx yh^2 á
Na placa superior, a posição y = h, então:
dudy|y=h = -2 cdot Umáx hh^2 = -2 Umáxh áá
A tensão de cisalhamento na placa superior é então:
tau = mu cdot (-2 Umáxh) = 2 mu Umáxh áá
(Note que usamos o valor absoluto para a força, já que estamos interessados na magnitude.)

Passo 4

Agora, para encontrar a força de atrito ( F), multiplicamos a tensão de cisalhamento pela área da placa:
F = tau cdot A = 2 mu Umáxh cdot A á
Substituindo os valores:
mu = 1 times 10^-3 , N⋅s/m^2, Umáx = 10 , m/s, h = 1 times 10^-3 , m, A = 0,4 , m^2 á
F = 2 times 1 times 10^-3 times 101 times 10^-3 times 0,4 = 2 times 10 times 0,4 = 8 , N

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade média do escoamento. A velocidade média ( umédiaé) é a integral da velocidade em toda a seção dividida pela altura h:
umédia = 1h integral0^h u(y) , dy é
Substituindo u(y):
umédia = 1h integral0^h Umáx (1 - y^2h^2) dy = Umáx (1 - 13) = 23 Umáx éááá
Então:
umédia = 23 times 10 = 6,67 , m/s é

Resposta

A força de atrito na placa superior é de 8 N e a velocidade média do escoamento é de 6,67 m/s.

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