A distribuição de velocidades em um tubo de 1,0 cm de diâmetro é dada por v(y)= 16 [1 - (y/yo) ^2 ] m/s, em que yo é o raio do tubo. Calcular a tensão de cisalhamento na linha central, em y =0,25 cm e na parede do tubo, se a água flui a 20^circ C.
Dado: mu água =1,002 times 10-3á Pa.s

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento de Poiseuille em um tubo de diâmetro 1,0 cm, cujo perfil de velocidades é
v(y) = 16l[1 - l(tfracyy0r)^2r] m/s,
em que y é a coordenada radial desde o centro até a parede e y0 é o raio do tubo. A água tem viscosidade dinâmica mu=1,002times10^-3 Pacdot s. Queremos calcular a tensão de cisalhamento
tau(y)=mu,dvdy
nos pontos y=0, y=0,25 cm e y=y0.

Passo 2

Primeiro convertemos unidades e derivamos v(y).
  • O raio do tubo é
y0=1,0 cm2=0,5 cm=0,005 m
  • Os valores de y em metros são
    ,y1=0, ,y2=0,25 cm=0,0025 m, ,y3=y0=0,005 m
  • Derivando
dvdy =ddyl[16l(1-(y/y0)^2r)r] =-32,yy0^2

Passo 3

Em y1=0 temos
dvdy|y=0 = -32,0y0^2=0 Longrightarrow tau(0)=mucdot0=0 Pa

Passo 4

Em y2=0,0025 m obtemos
dvdy|y=0,0025 =-32,0,0025(0,005)^2 =-32times100=-3200 s^-1
tau(0,0025) =mu,(dv/dy) =1,002times10^-3times(-3200) approx -3,21 Pa
(O sinal negativo indica que o cisalhamento age no sentido de reduzir v. A magnitude é 3,21 Pa.)

Passo 5

Na parede y3=0,005 m temos
dvdy|y=0,005 =-32,0,005(0,005)^2 =-32times200=-6400 s^-1
tau(0,005) =1,002times10^-3times(-6400) approx -6,41 Pa,
com magnitude 6,41 Pa.

Resposta

tau(0)=0 Pa,
tau(0,25 cm)approx -3,21 Pa (módulo 3,21 Pa),
tau(parede)approx -6,41 Pa (módulo 6,41 Pa).

Exercícios relacionados