div ( \operatorname{rot} G ) é zero
a. Mostre que se as derivadas parciais necessárias dos componentes do campo \mathbf{G}=M \mathbf{i}+N \mathbf{j}+P \mathbf{k} forem contínuas, então \nabla \cdot \nabla \times \mathbf{G}=0.
b. Pode-se concluir algo sobre o fluxo do campo \nabla \times \mathbf{G} através de uma superfície fechada? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá um campo vetorial \mathbf{G}=M\mathbf{i}+N\mathbf{j}+P\mathbf{k}
cujoas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, e pede para mostrar que \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{G})=0.
Em (b) pergunta-se o que podemos concluir sobre o fluxo de \nabla\times\mathbf{G} através de uma superfície fechada, usando o resultado de (a).
Passo 2
Vamos primeiro calcular o rotacional de \mathbf{G} pela definição de determinante:
Como as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, valem as igualdades \partial^2P/\partial x\partial y=\partial^2P/\partial y\partial x, \partial^2N/\partial x\partial z=\partial^2N/\partial z\partial x e \partial^2M/\partial y\partial z=\partial^2M/\partial z\partial y.
Cada termo positivo cancela com seu correspondente negativo, restando
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{G})=0.
Passo 5
Para (b), usamos o teorema da divergência (Gauss) que diz
para qualquer superfície fechada S que envolve o volume V.
Tomando \mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{G} e sabendo que \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{G})=0, vem