1. div ( \operatorname{rot} G ) é zero
    a. Mostre que se as derivadas parciais necessárias dos componentes do campo \mathbf{G}=M \mathbf{i}+N \mathbf{j}+P \mathbf{k} forem contínuas, então \nabla \cdot \nabla \times \mathbf{G}=0.
    b. Pode-se concluir algo sobre o fluxo do campo \nabla \times \mathbf{G} através de uma superfície fechada? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um campo vetorial \mathbf{G}=M\mathbf{i}+N\mathbf{j}+P\mathbf{k}
cujoas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, e pede para mostrar que \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{G})=0.
Em (b) pergunta-se o que podemos concluir sobre o fluxo de \nabla\times\mathbf{G} através de uma superfície fechada, usando o resultado de (a).

Passo 2

Vamos primeiro calcular o rotacional de \mathbf{G} pela definição de determinante:
\nabla\times\mathbf{G} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\\\ M&N&P \end{vmatrix} =(\partial P/\partial y-\partial N/\partial z)\,\mathbf{i} +(\partial M/\partial z-\partial P/\partial x)\,\mathbf{j} +(\partial N/\partial x-\partial M/\partial y)\,\mathbf{k}.

Passo 3

Agora aplicamos o operador divergência ao resultado acima:
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{G}) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\partial P/\partial y-\partial N/\partial z\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\partial M/\partial z-\partial P/\partial x\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\partial N/\partial x-\partial M/\partial y\bigr).

Passo 4

Expandindo cada termo, obtemos
\frac{\partial^2P}{\partial x\partial y} -\frac{\partial^2N}{\partial x\partial z} +\frac{\partial^2M}{\partial y\partial z} -\frac{\partial^2P}{\partial y\partial x} +\frac{\partial^2N}{\partial z\partial x} -\frac{\partial^2M}{\partial z\partial y}.
Como as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, valem as igualdades \partial^2P/\partial x\partial y=\partial^2P/\partial y\partial x, \partial^2N/\partial x\partial z=\partial^2N/\partial z\partial x e \partial^2M/\partial y\partial z=\partial^2M/\partial z\partial y.
Cada termo positivo cancela com seu correspondente negativo, restando
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{G})=0.

Passo 5

Para (b), usamos o teorema da divergência (Gauss) que diz
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV
para qualquer superfície fechada S que envolve o volume V.
Tomando \mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{G} e sabendo que \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{G})=0, vem
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{G})\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}0\,dV =0.

Resposta

a. \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{G})=0.
b. O fluxo de \nabla\times\mathbf{G} através de qualquer superfície fechada é zero.

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