1. Seja \mathbf{n} a normal unitária exterior da casca elíptica
S: \quad 4 x^{2}+9 y^{2}+36 z^{2}=36, \quad z \geq 0,
e seja
\mathbf{F}=y \mathbf{i}+x^{2} \mathbf{j}+\left(x^{2}+y^{4}\right)^{3 / 2} \operatorname{sen} e^{\sqrt{x y z}} \mathbf{k}
Encontre o valor de
\iint_{S} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d \sigma

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,d\sigma
em que S é a meia casca elíptica
4x^2+9y^2+36z^2=36,\quad z\ge0,
e \mathbf{n} é a normal unitária exterior. Vamos usar o Teorema de Stokes para converter essa integral de superfície numa integral de linha ao longo da fronteira de S.

Passo 2

A fronteira \partial S é dada pela interseção de S com o plano z=0, isto é a elipse
C:\quad \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1,\quad z=0.
Pelo Teorema de Stokes,
\iint_{S} (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,d\sigma =\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde a orientação de C é tal que, visto de cima (eixo +z), o caminho é anti-horário, pois a normal exterior tem componente z>0 nesta metade da casca.

Passo 3

Sobre C temos z=0, logo
\mathbf{F}(x,y,0) =\bigl(y,\;x^2,\;(x^2+y^4)^{3/2}\sin(e^{\sqrt{xyz}})\bigr) =\bigl(y,\;x^2,\;(x^2+y^4)^{3/2}\sin(1)\bigr).
Como d\mathbf{r}=(dx,dy,0),
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =y\,dx + x^2\,dy + \bigl((x^2+y^4)^{3/2}\sin(1)\bigr)\,0 =y\,dx + x^2\,dy.
Portanto
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\oint_{C}\bigl(y\,dx + x^2\,dy\bigr).

Passo 4

Para calcular \displaystyle \oint_{C}(y\,dx + x^2\,dy) aplicamos o Teorema de Green na região D interna à elipse:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)dA,
com P=y e Q=x^2. Assim
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =2x - 1.
Logo
\oint_{C}(y\,dx + x^2\,dy) =\iint_{D}(2x-1)\,dA =\iint_{D}2x\,dA \;-\;\iint_{D}1\,dA.

Passo 5

A região D é simétrica em x, então \displaystyle \iint_{D}x\,dA=0, e \displaystyle \iint_{D}1\,dA=\text{área}(D)=\pi\cdot 3\cdot 2=6\piá.
Portanto
\oint_{C}(y\,dx + x^2\,dy) =0 \;-\;6\pi =-6\pi.
Pelo Teorema de Stokes, esse é o valor da integral de superfície desejada.

Resposta

\iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,d\sigma = -6\pi.

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