Divergente em coordenadas curvilíneas. (a) Derive, a partir da definição integral,
nabla cdot J=lim de
a expressão para o divergente de J em coordenadas esféricas. Verifique que a expressão obtida pode ser escrita como
(nabla cdot J)|r=r0=1hr htheta hvarphi[partialpartial r(htheta hvarphi Jr)+partialpartial theta(hvarphi hr Jtheta)+partialpartial varphi(hr htheta Jvarphi)]|r=r0
onde hmu e Jmu, para mu=r, theta, varphi, são, respectivamente, os elementos da métrica e as componentes de J.

Passo 1

Beleza, aqui o lance é mostrar que, se você começar da definição integral do divergente
nabla!cdot J = limde
e trabalhar num “caixinha” diferencial em coordenadas esféricas, dá pra chegar à fórmula
nabla!cdot J=1hrhtheta hvarphil[partialrl(htheta hvarphi Jrr)+partialthetal(hvarphi hr Jthetar)+partialvarphil(hr htheta Jvarphir)r]
O conteúdo é: divergente em coordenadas curvilíneas, usando elementos de métrica hr,htheta,hvarphi e cálculo de fluxo em cada face de um volume infinitesimal.

Passo 2

Primeiro a gente define os elementos de métrica em esféricas (r,theta,varphi):
  • hr=1, porque o deslocamento radial é só dr.
  • htheta=r, pois o arco polar vale r,dtheta.
  • hvarphi=rsintheta, pois o arco azimutal vale rsintheta,dvarphi.
    O volume infinitesimal é
de

Passo 3

Fluxo pelas faces de raio constante r e r+dr (normais em pmhat er):
  • Área de cada face: dAr = htheta,hvarphi,dtheta,dvarphi = r^2sintheta,dtheta,dvarphi.
  • Fluxo saindo: Jr(r+dr),r^2sintheta,dtheta,dvarphi ;-; Jr(r),r^2sintheta,dtheta,dvarphi
    Usando expansão de Taylor, a diferença vira
    partialrl(r^2sintheta;Jrr),dr,dtheta,dvarphi

Passo 4

Fluxo pelas faces de ângulo theta constante ( theta e theta+dtheta, normais em pmhat etheta):
  • Área de cada face: dAtheta = hvarphi,hr,dvarphi,dr = rsintheta,dr,dvarphi.
  • Fluxo saindo: Jtheta(theta+dtheta),rsin(theta+dtheta),dr,dvarphi - Jtheta(theta),rsintheta,dr,dvarphi,
    que, por Taylor, dá
    partialthetal(rsintheta,Jthetar),dtheta,dr,dvarphi

Passo 5

Fluxo pelas faces de ângulo varphi constante ( varphi e varphi+dvarphi, normais em pmhat evarphi):
  • Área de cada face: dAvarphi = hr,htheta,dr,dtheta = r,dr,dtheta.
  • Fluxo saindo: Jvarphi(varphi+dvarphi),r,dr,dtheta - Jvarphi(varphi),r,dr,dtheta,
    que vira
    partialvarphil(r,Jvarphir),dvarphi,dr,dtheta

Passo 6

Somando os três fluxos e dividindo pelo volume de, temos
nabla!cdot J =1hrhtheta hvarphil[partialr(htheta hvarphi Jr) +partialtheta(hvarphi hr Jtheta) +partialvarphi(hr htheta Jvarphi)r]
Pronto, é exatamente a forma desejada.

Resposta

boxednabla!cdot J =1hr htheta hvarphi l[partialrl(htheta hvarphi,Jrr) +partialthetal(hvarphi hr,Jthetar) +partialvarphil(hr htheta,Jvarphir)r]

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