Divergente em coordenadas curvilíneas. (a) Derive, a partir da definição integral,
a expressão para o divergente de em coordenadas esféricas. Verifique que a expressão obtida pode ser escrita como
onde hmu e Jmu, para mu=r, theta, varphi, são, respectivamente, os elementos da métrica e as componentes de J.
Passo 1
Beleza, aqui o lance é mostrar que, se você começar da definição integral do divergente
nabla!cdot J = limde
e trabalhar num “caixinha” diferencial em coordenadas esféricas, dá pra chegar à fórmula nabla!cdot J=1hrhtheta hvarphil[partialrl(htheta hvarphi Jrr)+partialthetal(hvarphi hr Jthetar)+partialvarphil(hr htheta Jvarphir)r]
O conteúdo é: divergente em coordenadas curvilíneas, usando elementos de métrica hr,htheta,hvarphi e cálculo de fluxo em cada face de um volume infinitesimal.
Passo 2
Primeiro a gente define os elementos de métrica em esféricas (r,theta,varphi):
hr=1, porque o deslocamento radial é só dr.
htheta=r, pois o arco polar vale r,dtheta.
hvarphi=rsintheta, pois o arco azimutal vale rsintheta,dvarphi.
O volume infinitesimal é
de
Passo 3
Fluxo pelas faces de raio constante r e r+dr (normais em pmhat er):
Área de cada face: dAr = htheta,hvarphi,dtheta,dvarphi = r^2sintheta,dtheta,dvarphi.
Fluxo saindo:Jr(r+dr),r^2sintheta,dtheta,dvarphi ;-; Jr(r),r^2sintheta,dtheta,dvarphi
Usando expansão de Taylor, a diferença vira partialrl(r^2sintheta;Jrr),dr,dtheta,dvarphi
Passo 4
Fluxo pelas faces de ângulo theta constante (theta e theta+dtheta, normais em pmhat etheta):
Área de cada face: dAtheta = hvarphi,hr,dvarphi,dr = rsintheta,dr,dvarphi.
Fluxo saindo:Jtheta(theta+dtheta),rsin(theta+dtheta),dr,dvarphi - Jtheta(theta),rsintheta,dr,dvarphi,
que, por Taylor, dá partialthetal(rsintheta,Jthetar),dtheta,dr,dvarphi
Passo 5
Fluxo pelas faces de ângulo varphi constante (varphi e varphi+dvarphi, normais em pmhat evarphi):
Área de cada face: dAvarphi = hr,htheta,dr,dtheta = r,dr,dtheta.
Fluxo saindo:Jvarphi(varphi+dvarphi),r,dr,dtheta - Jvarphi(varphi),r,dr,dtheta,
que vira partialvarphil(r,Jvarphir),dvarphi,dr,dtheta
Passo 6
Somando os três fluxos e dividindo pelo volume de, temos