Um objeto percorre uma trajetória retilínea de acordo com a função horária, onde x está em metros e t em segundos. (2,0 pontos).
x=4 t^3+2 t^2-5 t+30
Determine:
d) a aceleração instantânea em t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um objeto se move numa linha reta seguindo a função horária
x(t)=4,t^3+2,t^2-5,t+30
onde está em metros e em segundos.
Conteúdo: Cinemática (função posição, velocidade e aceleração) e cálculo de derivadas.
O que vamos precisar:
- Entender que velocidade instantânea é a derivada de .
- Entender que aceleração instantânea é a derivada da velocidade, ou seja, a segunda derivada de .

Passo 2

Primeiro a gente acha a velocidade v(t)=dxdt=ddtl(4,t^3+2,t^2-5,t+30r), .
Por definição de derivada e usando a regra do “puxa pra baixo e diminui o expoente” (regra do poder),
v(t)=12,t^2+4,t-5,
Derivando termo a termo:
-
-
-
-
Logo,

Passo 3

Agora a aceleração a(t)=dvdt=ddtl(12,t^2+4,t-5r), é a derivada de a(t)=24,t+4, :

Aplicando de novo a regra do poder:
-
-
-
Então

Passo 4

Só falta achar a aceleração no instante a(2)=24cdot2+4=48+4=52, . Substituímos:

Resposta

A aceleração instantânea em é .

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