Diversas sentenças negativas são dadas para cada uma das seguintes afirmações. Quais são as certas?
(a) A resposta é 2 ou 3.
i. Nem 2 nem 3 são a resposta.
ii. A resposta não é 2 ou não é 3 .
iii. A resposta não é 2 e não é 3 .
(b) Pepinos são verdes e têm sementes.
i. Pepinos não são verdes e não têm sementes.
ii. Pepinos não são verdes ou não têm sementes.
iii. Pepinos são verdes e não têm sementes.
(c) 2<7 e 3 é ímpar.
i. 2>7 \mathrm{e} 3 é par.
ii. 2 \geq 7 e 3 é par.
iii. 2 \geq 7 ou 3 é ímpar.
iv. 2 \geq 7 ou 3 é par.

Passo 1

Resumindo, temos três afirmações e para cada uma listam-se várias sentenças que pretendem ser sua negação. O conteúdo que usamos é a negação de proposições compostas por “e” \land e “ou” \lor, conforme as Leis de De Morgan:
\neg(p\land q)\equiv \neg p \lor \neg q, \qquad \neg(p\lor q)\equiv \neg p \land \neg q.

Passo 2

(a) A afirmação é “A resposta é 2 ou 3”, i.e.\ p\lor q com p\equiv “resposta é 2” e q\equiv “resposta é 3”.
A negação é
\neg(p\lor q)\equiv \neg p\land \neg q,
isto é, “a resposta não é 2 e a resposta não é 3”.
Comparando:
i. “Nem 2 nem 3 são a resposta.” ≡ “não- 2 e não- 3” ✔
ii. “A resposta não é 2 ou não é 3.” ≡ “não- 2 ou não- 3” ✘
iii. “A resposta não é 2 e não é 3.” ≡ “não- 2 e não- 3” ✔

Passo 3

(b) A afirmação é “Pepinos são verdes e têm sementes”, i.e.\ r\land s com r\equiv “verdes” e s\equiv “têm sementes”.
A negação é
\neg(r\land s)\equiv \neg r\lor \neg s,
isto é, “pepinos não são verdes ou não têm sementes”.
Comparando:
i. “não-verdes e não-têm sementes” ✘
ii. “não-verdes ou não-têm sementes” ✔
iii. “verdes e não-têm sementes” ✘

Passo 4

(c) A afirmação é “ 2<7 e 3 é ímpar”, i.e.\ t\land u com t\equiv 2<7 e u\equiv 3 é ímpar”.
A negação é
\neg(t\land u)\equiv \neg t\lor \neg u,
i.e.\ “ 2\ge7 ou 3 é par”.
Comparando:
i. “ 2>7 e 3 é par” ✘
ii. “ 2\ge7 e 3 é par” ✘
iii. “ 2\ge7 ou 3 é ímpar” ✘
iv. “ 2\ge7 ou 3 é par” ✔

Resposta

(a) i e iii
(b) ii
(c) iv

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