Divida: \left(12 \angle 40^{\circ}\right) /\left(3 \angle 10^{\circ}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a divisão de dois números complexos em forma polar:
  • Primeiro número: 12\angle 40^\circ.
  • Segundo número: 3\angle 10^\circ.
O que é pedido: calcular o quociente \dfrac{12\angle 40^\circ}{3\angle 10^\circ} e apresentar o resultado.

Passo 2

Conceito importante (o que é forma polar e por que ela facilita multiplicações/divisões).
  • Um número complexo em forma polar é escrito como r\angle\theta, onde:
    • r é o módulo (ou magnitude) do número complexo — um número real não negativo que indica “tamanho”.
    • \theta é o argumento (ou ângulo) em graus (ou radianos) que indica a direção no plano complexo.
  • Usando a notação exponencial (fórmula de Euler) temos:
r\angle\theta \equiv r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big) \equiv r e^{j\theta}.
Aqui j é a unidade imaginária ( j^2=-1). Esta forma torna multiplicações e divisões muito simples.

Passo 3

Regra de divisão em forma polar (explicação didática do porquê):
  • Se temos dois complexos em forma exponencial r_1 e^{j\theta_1} e r_2 e^{j\theta_2}, a divisão é
\frac{r_1 e^{j\theta_1}}{r_2 e^{j\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}\,e^{j(\theta_1-\theta_2)}.
  • Em palavras: os módulos dividem-se e os ângulos se subtraem. Isso vem das propriedades de potenciação/exponenciação: e^{j\theta_1}/e^{j\theta_2}=e^{j(\theta_1-\theta_2)}.

Passo 4

Aplicando a regra ao problema dado:
  • Divida os módulos:
\frac{12}{3}=4.
  • Subtraia os ângulos:
40^\circ-10^\circ=30^\circ.

Passo 5

Escrevendo o resultado em forma polar:
\frac{12\angle 40^\circ}{3\angle 10^\circ}=4\angle 30^\circ.

Passo 6

Verificação opcional convertendo para a forma retangular (pra você ver que bate):
  • Usando \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2},
4\angle 30^\circ = 4\big(\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ\big) =4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + j\dfrac{1}{2}\right) =2\sqrt{3} + j\,2.
Portanto a forma retangular é \,2\sqrt{3}+j2, o que confirma coerência com a forma polar.

Resposta

4\angle 30^\circ

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