Multiplique: \left(5 \angle 20^{\circ}\right)\left(4 \angle 30^{\circ}\right).

Passo 1

O enunciado pede para multiplicar dois números complexos dados em forma polar:
  • Primeiro fator: 5 \angle 20^\circ (módulo 5, argumento 20^\circ).
  • Segundo fator: 4 \angle 30^\circ (módulo 4, argumento 30^\circ).
A pergunta é: qual é o produto \left(5 \angle 20^{\circ}\right)\left(4 \angle 30^{\circ}\right)?

Passo 2

O que significa um número na forma polar r\angle\theta?
  • Essa notação representa o número complexo com módulo (ou magnitude) r e argumento (ou ângulo) \theta.
  • Em termos de seno e cosseno:
r\angle\theta = r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big),
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1).
Isto é útil porque transforma um número complexo numa combinação de uma escala ( r) e uma rotação ( \theta).

Passo 3

Regra de multiplicação em forma polar (fórmula principal que vamos usar):
  • Se tivermos \;r_1\angle\theta_1\; e \;r_2\angle\theta_2\;, então seu produto é
r_1\angle\theta_1 \;\cdot\; r_2\angle\theta_2 \;=\; (r_1 r_2)\angle(\theta_1+\theta_2).
Explicação rápida (intuição e demonstração com identidades trigonométricas):
\begin{aligned} r_1\angle\theta_1 \cdot r_2\angle\theta_2 &= r_1\big(\cos\theta_1+j\sin\theta_1\big)\; r_2\big(\cos\theta_2+j\sin\theta_2\big)\\[4pt] &= r_1 r_2\big(\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2\big) \\\ &\quad\; +\, j\,r_1 r_2\big(\cos\theta_1\sin\theta_2 + \sin\theta_1\cos\theta_2\big)\\[4pt] &= r_1 r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2) + j\sin(\theta_1+\theta_2)\big)\\[4pt] &= (r_1 r_2)\angle(\theta_1+\theta_2). \end{aligned}
A última linha usa as identidades trigonométricas de soma de ângulos:
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, \qquad \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.]

Passo 4

Aplicando a regra aos números dados:
  • Multiplicamos os módulos: 5\cdot 4 = 20.
  • Somamos os argumentos: 20^\circ + 30^\circ = 50^\circ.
Portanto, em forma polar o produto é
20\angle 50^\circ.

Passo 5

Opcional — converter para forma retangular (parte real + j parte imaginária) para ver o valor numérico:
20\angle 50^\circ = 20\big(\cos 50^\circ + j\sin 50^\circ\big).
Usando aproximações decimais (sem esquecer da vírgula como separador decimal):
\cos 50^\circ \approx 0,6428,\qquad \sin 50^\circ \approx 0,7660,
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20\cos 50^\circ \approx 12,856,\qquad 20\sin 50^\circ \approx 15,321.
Assim, em forma retangular aproximada:
12,856 + j\,15,321.

Resposta

20\angle 50^\circ
12,856 + j\,15,321

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