Subtraia: 10 \angle 60^{\circ}-5 \angle 30^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede que eu subtraia dois fasores em forma polar: 10\angle60^\circ e 5\angle30^\circ. As informações dadas são:
  • Primeiro fasor: módulo 10 e ângulo 60^\circ.
  • Segundo fasor: módulo 5 e ângulo 30^\circ.
O que preciso encontrar é o resultado da subtração
10\angle60^\circ - 5\angle30^\circ.

Passo 2

Entender as representações: um fasor em forma polar \,r\angle\theta, pode ser convertido para a forma retangular (com parte real e parte imaginária) usando a fórmula
r\angle\theta = r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big),
onde:
  • r é o módulo (comprimento) do fasor,
  • \theta é o ângulo em graus (aqui),
  • j é a unidade imaginária ( j^2=-1),
  • \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas do ângulo.
Explicando devagar: com essa conversão eu passo de uma representação que dá módulo e direção para uma representação que dá coordenadas x (real) e y (imaginária). A subtração entre fasores é fácil na forma retangular: subtrai-se parte real com real e imaginária com imaginária.

Passo 3

Converter cada fasor para a forma retangular (usar valores exatos quando possível).
Para 10\angle60^\circ:
10\angle60^\circ = 10\big(\cos60^\circ + j\sin60^\circ\big).
Como \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
10\angle60^\circ = 10\left(\tfrac{1}{2} + j\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 + j\,5\sqrt{3}.
Para 5\angle30^\circ:
5\angle30^\circ = 5\big(\cos30^\circ + j\sin30^\circ\big).
Como \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin30^\circ=\tfrac{1}{2}, temos
5\angle30^\circ = 5\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2} + j\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{5\sqrt{3}}{2} + j\,\tfrac{5}{2}.

Passo 4

Fazer a subtração em forma retangular: subtrai-se as partes reais e as partes imaginárias.
Parte real:
\Re = 5 - \tfrac{5\sqrt{3}}{2} = \tfrac{5(2-\sqrt{3})}{2}.
Parte imaginária:
\Im = 5\sqrt{3} - \tfrac{5}{2} = \tfrac{5(2\sqrt{3}-1)}{2}.
Então o resultado em forma retangular exata é
10\angle60^\circ - 5\angle30^\circ = \tfrac{5(2-\sqrt{3})}{2} \;+\; j\,\tfrac{5(2\sqrt{3}-1)}{2}.
Se quisermos valores numéricos aproximados (úteis na prova):
\Re \approx 0{,}669873,\qquad \Im \approx 6{,}160254,
logo a forma retangular aproximada é
0{,}669873 + j\,6{,}160254.

Passo 5

Agora quero passar para a forma polar (módulo e ângulo). O módulo é
|Z| = \sqrt{\Re^{2} + \Im^{2}}.
Usando a forma polar original e a identidade para diferença de vetores, também pode-se obter o módulo diretamente por
|Z|^{2} = 10^{2} + 5^{2} -2\cdot10\cdot5\cos\big(60^\circ-30^\circ\big),
porque |A-B|^{2}=|A|^{2}+|B|^{2}-2|A||B|\cos(\Delta\theta). Aqui \Delta\theta=30^\circ e \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim
|Z|^{2} = 100 + 25 - 100\cdot\cos30^\circ =125 -100\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} =125 -50\sqrt{3}.
Portanto o módulo exato é
|Z| = \sqrt{125 -50\sqrt{3}}.
Numericamente,
|Z| \approx 6{,}197.

Passo 6

Agora o ângulo \varphi do resultado é dado por
\varphi = \operatorname{atan2}(\Im,\Re),
ou seja o arco-tangente da razão \Im/\Re, levando em conta o quadrante. Aqui \Re>0 e \Im>0, então \varphi está no primeiro quadrante e
\tan\varphi = \frac{\Im}{\Re} = \frac{\tfrac{5(2\sqrt{3}-1)}{2}}{\tfrac{5(2-\sqrt{3})}{2}} = \frac{2\sqrt{3}-1}{2-\sqrt{3}}.
Uma simplificação elegante: multiplicando numerador e denominador por 2+\sqrt{3} obtém-se
\tan\varphi = 3\sqrt{3} + 4.
Logo
\varphi = \arctan\big(3\sqrt{3}+4\big).
Numericamente,
\varphi \approx 83{,}82^\circ.

Passo 7

Reunindo tudo, o resultado na forma polar (aproximado) é
|Z|\angle\varphi \approx 6{,}197\angle83{,}82^\circ.

Resposta

0{,}669873 + j\,6{,}160254 \approx 6{,}197\angle83{,}82^\circ

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