Divida:
4 \mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}+6 por \mathrm{x}+2

Passo 1

O enunciado pede dividir o polinômio 4x^{2}-3x+6 pelo polinômio x+2.
Informações dadas:
  • Dividendo: 4x^{2}-3x+6.
  • Divisor: x+2.
    O que se quer obter: o quociente e o resto dessa divisão (ou escrever o resultado na forma quociente mais resto sobre divisor). Não vou resolver ainda, só expliquei o que está pedido e os dados.

Passo 2

Ideia do método (divisão de polinômios por divisão longa): funciona como a divisão de números. Em cada etapa divide-se o termo de maior grau do que sobra (o “resto parcial”) pelo termo de maior grau do divisor; esse quociente parcial é colocado no quociente final. Em seguida multiplica-se o divisor por esse quociente parcial e subtrai‑se do resto parcial para eliminar o termo de maior grau. Repete até o grau do resto ser menor que o grau do divisor.
Aplicando ao nosso caso: o termo de maior grau do dividendo é 4x^{2} e o do divisor é x. Dividindo esses termos obtemos o primeiro termo do quociente:
\frac{4x^{2}}{x}=4x.

Passo 3

Multiplica-se o divisor x+2 por esse termo do quociente 4x e subtrai-se do dividendo:
(x+2)\cdot(4x)=4x^{2}+8x.
Agora subtrai-se isso do dividendo original 4x^{2}-3x+6:
(4x^{2}-3x+6)-(4x^{2}+8x)= -11x+6.
Portanto, após a primeira etapa sobra o polinômio -11x+6.

Passo 4

Repetimos o procedimento com o novo resto -11x+6. Dividimos o termo de maior grau -11x pelo termo de maior grau do divisor x:
\frac{-11x}{x}=-11.
Esse é o próximo termo do quociente. Multiplicando o divisor:
(x+2)\cdot(-11) = -11x-22.
Subtraindo do resto parcial:
(-11x+6)-(-11x-22)=6+22=28.
Agora o resto é 28, que é um polinômio de grau 0, menor que o grau do divisor (que é 1). Assim a divisão termina.

Passo 5

Concluímos que o quociente obtido é 4x-11 e o resto é 28. Sempre é bom conferir multiplicando o divisor pelo quociente e somando o resto:
(x+2)(4x-11)+28 = (4x^{2}-11x)+(8x-22)+28 = 4x^{2}-3x+6,
que é exatamente o dividendo original. A conta fecha.

Resposta

Quociente: 4x-11
Resto: 28
\displaystyle \frac{4x^{2}-3x+6}{x+2}=4x-11+\frac{28}{x+2}

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