Divida:
x^{4}+x^{3}+2 x+15 por 2 x^{2}-6 x+4

Passo 1

O enunciado pede que se divida o polinômio x^{4}+x^{3}+2x+15 pelo polinômio 2x^{2}-6x+4.
Informações dadas:
  • Dividendo: x^{4}+x^{3}+2x+15.
  • Divisor: 2x^{2}-6x+4.
    A tarefa é encontrar o quociente e o resto da divisão polinomial.

Passo 2

Breve explicação do método (divisão euclidiana de polinômios), com um lembrete prático:
  • Ao dividir polinômios, sempre alinhar os termos em ordem decrescente de grau e preencher coeficientes nulos (aqui falta o termo em x^{2} no dividendo, então o colocamos como 0x^{2}).
  • Em cada passo, dividimos o termo de maior grau do resto atual pelo termo de maior grau do divisor para obter o próximo termo do quociente.
  • Multiplicamos o divisor por esse termo e subtraímos do resto atual; esse resulta dá um novo resto. Repetimos até o grau do resto ser menor que o grau do divisor.
  • A identidade final é:
\text{dividendo} = (\text{divisor})\cdot(\text{quociente}) + (\text{resto}),
com \deg(\text{resto})<\deg(\text{divisor}).

Passo 3

Preparar o dividendo com coeficiente nulo para x^{2}:
x^{4}+x^{3}+0x^{2}+2x+15.
Divisor:
2x^{2}-6x+4.
Primeiro passo da divisão: dividir o termo de maior grau x^{4} pelo termo líder do divisor 2x^{2}:
\frac{x^{4}}{2x^{2}}=\frac{1}{2}x^{2}.
Esse é o primeiro termo do quociente. Multiplicamos o divisor por \frac{1}{2}x^{2}:
\left(2x^{2}-6x+4\right)\cdot\frac{1}{2}x^{2}=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}.
Subtraímos esse produto do dividendo (ou melhor, do resto atual):
\bigl(x^{4}+x^{3}+0x^{2}\bigr)-\bigl(x^{4}-3x^{3}+2x^{2}\bigr)=4x^{3}-2x^{2}.
Trago os termos seguintes +2x+15, então o novo resto é
4x^{3}-2x^{2}+2x+15.

Passo 4

Segundo passo: dividir o termo líder do resto 4x^{3} pelo líder do divisor 2x^{2}:
\frac{4x^{3}}{2x^{2}}=2x.
Esse é o segundo termo do quociente. Multiplicamos o divisor por 2x:
\left(2x^{2}-6x+4\right)\cdot 2x = 4x^{3}-12x^{2}+8x.
Subtraímos do resto atual:
\bigl(4x^{3}-2x^{2}+2x\bigr)-\bigl(4x^{3}-12x^{2}+8x\bigr)=10x^{2}-6x.
Trago o termo constante +15, então o novo resto é
10x^{2}-6x+15.

Passo 5

Terceiro passo: dividir 10x^{2} pelo líder 2x^{2}:
\frac{10x^{2}}{2x^{2}}=5.
Esse é o terceiro termo do quociente. Multiplicamos o divisor por 5:
\left(2x^{2}-6x+4\right)\cdot 5 = 10x^{2}-30x+20.
Subtraímos do resto atual:
\bigl(10x^{2}-6x+15\bigr)-\bigl(10x^{2}-30x+20\bigr)=24x-5.
Agora o resto é 24x-5, cujo grau 1 é menor que o grau do divisor 2. Portanto paramos aqui.

Passo 6

Conclusão da divisão: o quociente obtido é
\frac{1}{2}x^{2}+2x+5,
e o resto é
24x-5.
Para conferir rapidamente, multiplicar divisor por quociente e somar o resto deve retornar o dividendo:
\begin{aligned} \left(2x^{2}-6x+4\right)\left(\tfrac{1}{2}x^{2}+2x+5\right) &=x^{4}+x^{3}+0x^{2}-22x+20,\\\ x^{4}+x^{3}+0x^{2}-22x+20 + (24x-5) &=x^{4}+x^{3}+2x+15, \end{aligned}
que é exatamente o dividendo original. Beleza — bate certinho!

Resposta

Quociente: \tfrac{1}{2}x^{2}+2x+5
Resto: 24x-5

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