Divida:
11 x^{4}+3 x^{5}+7 x+9-15 x^{2} por x^{2}+2 x-1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se dividir o polinômio por x^{2}+2x-1.
  • Dividendo (polinômio que será dividido): 11x^{4}+3x^{5}+7x+9-15x^{2}.
  • Divisor: x^{2}+2x-1.
Observação: para organizar a divisão, vou ordenar o dividendo em potências decrescentes de x e colocar coeficientes zero onde faltar termo.

Passo 2

Organizar o dividendo em ordem decrescente e preencher termos ausentes:
  • Reescrevendo 11x^{4}+3x^{5}+7x+9-15x^{2} em ordem decrescente de potências:
3x^{5}+11x^{4}+0x^{3}-15x^{2}+7x+9.
Agora temos o dividendo pronto para a divisão longa por x^{2}+2x-1.

Passo 3

Regra principal da divisão longa de polinômios (recap): a cada passo, dividimos o termo líder (maior grau) do polinômio atual pelo termo líder do divisor. O resultado é o próximo termo do quociente; multiplicamos esse termo pelo divisor e subtraímos do polinômio atual, reduzindo o grau. Repetimos até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor.
Passo 1 da divisão: dividir o termo líder do dividendo 3x^{5} pelo termo líder do divisor x^{2}:
\frac{3x^{5}}{x^{2}}=3x^{3}.
Esse é o primeiro termo do quociente.

Passo 4

Multiplicar e subtrair (primeira iteração):
  • Multiplicação:
3x^{3}\cdot(x^{2}+2x-1)=3x^{5}+6x^{4}-3x^{3}.
  • Subtração do polinômio atual:
\bigl(3x^{5}+11x^{4}+0x^{3}\bigr)-\bigl(3x^{5}+6x^{4}-3x^{3}\bigr)=5x^{4}+3x^{3}.
Trazer os termos seguintes do dividendo para continuar: obtemos
5x^{4}+3x^{3}-15x^{2}.

Passo 5

Segunda iteração: dividir o termo líder 5x^{4} por x^{2}:
\frac{5x^{4}}{x^{2}}=5x^{2}.
Multiplicar e subtrair:
  • Multiplicação:
5x^{2}\cdot(x^{2}+2x-1)=5x^{4}+10x^{3}-5x^{2}.
  • Subtração:
\bigl(5x^{4}+3x^{3}-15x^{2}\bigr)-\bigl(5x^{4}+10x^{3}-5x^{2}\bigr)=-7x^{3}-10x^{2}.
Trazer o termo seguinte +7x: ficamos com
-7x^{3}-10x^{2}+7x.

Passo 6

Terceira iteração: dividir o termo líder -7x^{3} por x^{2}:
\frac{-7x^{3}}{x^{2}}=-7x.
Multiplicar e subtrair:
  • Multiplicação:
-7x\cdot(x^{2}+2x-1)=-7x^{3}-14x^{2}+7x.
  • Subtração:
\bigl(-7x^{3}-10x^{2}+7x\bigr)-\bigl(-7x^{3}-14x^{2}+7x\bigr)=4x^{2}+0x.
Trazer o termo seguinte +9: obtemos
4x^{2}+0x+9.

Passo 7

Quarta iteração: dividir o termo líder 4x^{2} por x^{2}:
\frac{4x^{2}}{x^{2}}=4.
Multiplicar e subtrair:
  • Multiplicação:
4\cdot(x^{2}+2x-1)=4x^{2}+8x-4.
  • Subtração:
\bigl(4x^{2}+0x+9\bigr)-\bigl(4x^{2}+8x-4\bigr)=-8x+13.
Agora o resto é -8x+13, que tem grau 1, menor que o grau do divisor ( 2). Portanto a divisão termina aqui.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida (forma padrão):
A divisão produz quociente 3x^{3}+5x^{2}-7x+4 e resto -8x+13.
Na forma de identidade da divisão:
\text{dividendo} = (\text{divisor})\cdot(\text{quociente}) + (\text{resto}),
isto é,
3x^{5}+11x^{4}-15x^{2}+7x+9=(x^{2}+2x-1)\,(3x^{3}+5x^{2}-7x+4)+(-8x+13).
Isso confirma que o processo foi executado corretamente.

Resposta

Quociente: 3x^{3}+5x^{2}-7x+4
Resto: -8x+13

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