Divida as séries de potências para mostrar que
Passo 1
O enunciado pede que dividamos séries de potências para mostrar que
Informações dadas (ou usadas): as séries de potências usuais para
e para
. Vamos usar essas séries e efetuar a divisão (ou, equivalentemente, multiplicação por
) para obter os primeiros termos da série resultado. Não resolvemos nada neste passo; só organizei o que o problema pede e os dados que vamos usar.
Passo 2
Escrevendo as séries conhecidas (válidas para
):
Aqui eu estou usando fórmulas padrão: para
a expansão é
e para
é
. Essas fórmulas vêm da definição de série de Taylor/Maclaurin (se não lembra, pense que são séries-padrão que você decorou ou que se obtêm derivando repetidamente).
Passo 3
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Assim
Então precisamos das séries de
(já escrita) e de
. A série de
obtém-se trocando
por
na série de
:
Passo 4
Agora multiplicamos as duas séries formais. Regra geral: se
então o produto
tem coeficientes dados pela convolução
No nosso caso
(porque
não tem termo constante) e para
temos
; para
temos
.
Vou calcular explicitamente os coeficientes dos termos
do produto para mostrar os primeiros termos da série pedida.
Passo 5
Coeficiente do termo
(coeficiente de
):
Usamos
(porque
):
Logo o termo de ordem 1 é
.
Coeficiente do termo
:
Substituindo os valores:
Cálculo:
Logo o termo de ordem 2 é
.
Coeficiente do termo
:
Substituindo:
Cálculo passo a passo:
Somando:
Portanto o termo de ordem 3 é
.
Passo 6
Juntando os termos que calculamos, a série resultante começa
que é exatamente o que o enunciado pede para mostrar (os pontos indicam que há termos de ordem superior obtidos da mesma forma por convolução). A multiplicação foi feita usando a regra de convolução de coeficientes de séries de potências; a igualdade vale no intervalo de convergência comum, aqui
.