Divida as séries de potências para mostrar que
\frac{\ln (1-x)}{e^{x}}=-x+\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{3} x^{3}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede que dividamos séries de potências para mostrar que
\frac{\ln(1-x)}{e^{x}}=-x+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}+\cdots.
Informações dadas (ou usadas): as séries de potências usuais para \ln(1-x) e para e^{x}. Vamos usar essas séries e efetuar a divisão (ou, equivalentemente, multiplicação por e^{-x}) para obter os primeiros termos da série resultado. Não resolvemos nada neste passo; só organizei o que o problema pede e os dados que vamos usar.

Passo 2

Escrevendo as séries conhecidas (válidas para |x|<1):
\ln(1-x) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n} = -x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-\cdots,
e^{x} = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!} = 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}+\cdots.
Aqui eu estou usando fórmulas padrão: para \ln(1-x) a expansão é -\sum_{n\ge1} x^n/n e para e^{x} é \sum_{m\ge0} x^m/m!. Essas fórmulas vêm da definição de série de Taylor/Maclaurin (se não lembra, pense que são séries-padrão que você decorou ou que se obtêm derivando repetidamente).

Passo 3

Dividir por e^{x} é o mesmo que multiplicar por e^{-x}. Assim
\frac{\ln(1-x)}{e^{x}}=\ln(1-x)\cdot e^{-x}.
Então precisamos das séries de \ln(1-x) (já escrita) e de e^{-x}. A série de e^{-x} obtém-se trocando x por -x na série de e^{x}:
e^{-x}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}x^{m}}{m!}=1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{24}-\cdots.

Passo 4

Agora multiplicamos as duas séries formais. Regra geral: se
A(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k},\qquad B(x)=\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k},
então o produto C(x)=A(x)B(x) tem coeficientes dados pela convolução
c_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\,b_{n-k}.
No nosso caso a_{0}=0 (porque \ln(1-x) não tem termo constante) e para k\ge1 temos a_{k}=-\tfrac{1}{k}; para m\ge0 temos b_{m}=(-1)^{m}/m!.
Vou calcular explicitamente os coeficientes dos termos x, x^{2}, x^{3} do produto para mostrar os primeiros termos da série pedida.

Passo 5

Coeficiente do termo x (coeficiente de x^{1}):
Usamos c_{1}=\sum_{k=1}^{1}a_{k}b_{1-k}=a_{1}b_{0} (porque a_{0}=0):
a_{1}=-1,\qquad b_{0}=1 \quad\Rightarrow\quad c_{1}=-1\!.
Logo o termo de ordem 1 é -x.
Coeficiente do termo x^{2}:
c_{2}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}.
Substituindo os valores:
a_{1}=-1,\\ b_{1}=-1,\\ a_{2}=-\tfrac{1}{2},\\ b_{0}=1.
Cálculo:
c_{2}=(-1)\cdot(-1)+\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 1 = 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
Logo o termo de ordem 2 é +\tfrac{1}{2}x^{2}.
Coeficiente do termo x^{3}:
c_{3}=a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{0}.
Substituindo:
a_{1}=-1,\\ b_{2}=+\tfrac{1}{2},\\ a_{2}=-\tfrac{1}{2},\\ b_{1}=-1,\\ a_{3}=-\tfrac{1}{3},\\ b_{0}=1.
Cálculo passo a passo:
a_{1}b_{2}=(-1)\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{2},
a_{2}b_{1}=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-1)=+\frac{1}{2},
a_{3}b_{0}=-\frac{1}{3}\cdot 1=-\frac{1}{3}.
Somando:
c_{3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}.
Portanto o termo de ordem 3 é -\tfrac{1}{3}x^{3}.

Passo 6

Juntando os termos que calculamos, a série resultante começa
\ln(1-x)\,e^{-x} = -x+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}+\cdots,
que é exatamente o que o enunciado pede para mostrar (os pontos indicam que há termos de ordem superior obtidos da mesma forma por convolução). A multiplicação foi feita usando a regra de convolução de coeficientes de séries de potências; a igualdade vale no intervalo de convergência comum, aqui |x|<1.

Resposta

\frac{\ln(1-x)}{e^{x}}=-x+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}+\cdots

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