Verifique que
é uma solução particular e faça a mudança
para reduzir (e resolver, se possível) a ordem das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem
e nos fornece uma função candidata
Tarefas pedidas:
- Verificar que
é de fato uma solução da equação (ou seja, que ao substituir gera ). - Fazer a mudança de variável
para reduzir a ordem da equação e, se possível, resolver a equação reduzida obtida.
Informações relevantes dadas: a forma explícita da EDO e a expressão de
. Não há outras condições iniciais; buscamos a solução geral (ou a redução da ordem) da EDO.
Passo 2
Verificação direta de que
satisfaz a equação.
Primeiro calculo as derivadas de
. Uso a regra da cadeia: se
então
.
pois
e
.
Agora a segunda derivada (uso produto/derivada de
):
A terceira derivada:
Agora substituo na equação dividindo por
(que nunca é zero) para facilitar:
Logo
é realmente uma solução da EDO.
Passo 3
Fazer a mudança
. Vou calcular
em termos das derivadas de
(uso regra do produto repetidamente).
Defino para simplificar
e já sei
.
Usando produto:
Passo 4
Substituo as expressões acima na equação original e divido tudo por
(vale porque
). Vou agrupar termos em potências das derivadas de
.
Substituição:
tudo dividido por
.
Agora simplifico coletando os termos por
.
- Coeficiente de
: (aparece só uma vez) — teremos . - Coeficiente de
: do primeiro grupo e do segundo, então multiplicando . - Coeficiente de
: do primeiro, do segundo, e do terceiro; somando: . - Coeficiente de
: do primeiro ; do segundo ; do terceiro ; do quarto . Somando estes termos dá zero (as potências se cancelam).
Portanto a soma se reduz a
Agora observe que essa equação contém apenas derivadas de
, e não
propriamente dito. Isso significa que podemos reduzir a ordem definindo
Então
e
. Substituindo obtemos a equação de ordem dois para
:
Assim a mudança
efetivamente reduziu a ordem da EDO de 3 para 2 (para
).
Passo 5
Resolver a equação obtida para
:
Esse tipo de equação sugere tentar uma transformação que elimine o termo de primeira derivada (ou transforme em algo conhecido). Uma boa ideia é tentar
pois fatores
frequentemente simplificam termos com
(esse é um truque padrão: multiplicar por fator exponencial com
para anular o termo
).
Vou calcular as derivadas de
em termos de
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora substituo
,
,
na equação
, fatorando
:
Dividindo por
e somando termos semelhantes:
Os termos em
se cancelam (
). Os termos em
também cancelam:
. Sobra:
Excelente: reduziu para a equação clássica de oscilador harmônico simples.
Passo 6
Resolver
. Essa é trivial: as soluções são combinações lineares de
e
:
onde
são constantes arbitrárias.
Volto agora pelas substituições:
Integro para obter
:
onde
é constante de integração. Aqui as primitivas
e
não têm primitivas elementares em termos de funções elementares usuais, então mantemos como integrais (podemos escrevê-las em termos de funções especiais se necessário).
Finalmente
. Substituindo
obtemos a solução geral:
onde troquei a constante
por
(multiplicando
gera o termo independente) e usei
como variável dummy de integração.
Os três parâmetros
formam as três constantes independentes esperadas para a solução geral de uma EDO de terceira ordem.