Verifique que y_{1}(x) é uma solução particular e faça a mudança y(x)=c(x) y_{1}(x) para reduzir (e resolver, se possível) a ordem das seguintes equações:
y^{\prime \prime \prime}-x y^{\prime \prime}-y^{\prime}-x y=0, y_{1}(x)=e^{x^{2} / 2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem
y^{\prime\prime\prime}-x y^{\prime\prime}-y^{\prime}-x y=0
e nos fornece uma função candidata
y_{1}(x)=e^{x^{2}/2}.
Tarefas pedidas:
  1. Verificar que \,y_{1}(x)\, é de fato uma solução da equação (ou seja, que ao substituir gera 0).
  2. Fazer a mudança de variável \,y(x)=c(x)\,y_{1}(x)\, para reduzir a ordem da equação e, se possível, resolver a equação reduzida obtida.
Informações relevantes dadas: a forma explícita da EDO e a expressão de y_{1}. Não há outras condições iniciais; buscamos a solução geral (ou a redução da ordem) da EDO.

Passo 2

Verificação direta de que \,y_{1}(x)=e^{x^{2}/2}\, satisfaz a equação.
Primeiro calculo as derivadas de y_{1}. Uso a regra da cadeia: se y_{1}=e^{g(x)} então y_{1}'=g'(x)e^{g(x)}.
y_{1}'(x)=x e^{x^{2}/2},
pois g(x)=x^{2}/2 e g'(x)=x.
Agora a segunda derivada (uso produto/derivada de x e^{x^{2}/2}):
y_{1}''(x)=(x e^{x^{2}/2})' = 1\cdot e^{x^{2}/2} + x\cdot (x e^{x^{2}/2}) = (1+x^{2})e^{x^{2}/2}.
A terceira derivada:
y_{1}'''(x)=\big((1+x^{2})e^{x^{2}/2}\big)' = 2x e^{x^{2}/2} + (1+x^{2})(x e^{x^{2}/2}) = (3x + x^{3})e^{x^{2}/2}.
Agora substituo na equação dividindo por e^{x^{2}/2} (que nunca é zero) para facilitar:
\begin{aligned} &y_{1}''' - x y_{1}'' - y_{1}' - x y_{1}\\\ &\quad = (3x + x^{3})e^{x^{2}/2} - x(1+x^{2})e^{x^{2}/2} - x e^{x^{2}/2} - x e^{x^{2}/2}\\\ &\quad = e^{x^{2}/2}\big(3x + x^{3} - x - x^{3} - x - x\big) \\\ &\quad = e^{x^{2}/2}\big(3x -3x + x^{3}-x^{3}\big)=0. \end{aligned}
Logo \,y_{1}(x)=e^{x^{2}/2}\, é realmente uma solução da EDO.

Passo 3

Fazer a mudança y(x)=c(x)\,y_{1}(x)=c(x)e^{x^{2}/2}. Vou calcular y',y'',y''' em termos das derivadas de c (uso regra do produto repetidamente).
Defino para simplificar y_{1}=e^{x^{2}/2} e já sei y_{1}'=x y_{1},\; y_{1}''=(1+x^{2})y_{1},\; y_{1}'''=(3x+x^{3})y_{1}.
Usando produto:
\begin{aligned} y &= c\,y_{1},\\\ y' &= c' y_{1} + c y_{1}' = c' y_{1} + c x y_{1},\\\ y'' &= c'' y_{1} + 2 c' y_{1}' + c y_{1}'' = c'' y_{1} + 2 c' x y_{1} + c(1+x^{2})y_{1},\\\ y''' &= c''' y_{1} + 3 c'' y_{1}' + 3 c' y_{1}'' + c y_{1}'''. \end{aligned}

Passo 4

Substituo as expressões acima na equação original e divido tudo por y_{1} (vale porque y_{1}>0). Vou agrupar termos em potências das derivadas de c.
Substituição:
\begin{aligned} &y''' - x y'' - y' - x y = 0\\\ \Longrightarrow\;& \big(c''' + 3x c'' + 3(1+x^{2})c' + c(3x+x^{3})\big)\\\ &\qquad - x\big(c'' + 2x c' + c(1+x^{2})\big) - \big(c' + c x\big) - x\text{(c)}=0, \end{aligned}
tudo dividido por y_{1}.
Agora simplifico coletando os termos por c''',c'',c',c.
  • Coeficiente de c''': 1 (aparece só uma vez) — teremos c'''.
  • Coeficiente de c'': 3x do primeiro grupo e -x do segundo, então 3x - x = 2x multiplicando c''.
  • Coeficiente de c': 3(1+x^{2}) do primeiro, -2x^{2} do segundo, e -1 do terceiro; somando: 3 + 3x^{2} - 2x^{2} -1 = 2 + x^{2}.
  • Coeficiente de c: do primeiro 3x+x^{3}; do segundo -x(1+x^{2})=-x - x^{3}; do terceiro -x; do quarto -x. Somando estes termos dá zero (as potências se cancelam).
Portanto a soma se reduz a
c''' + 2x c'' + (2+x^{2}) c' = 0.
Agora observe que essa equação contém apenas derivadas de c, e não c propriamente dito. Isso significa que podemos reduzir a ordem definindo
u(x)=c'(x).
Então u'=c'' e u''=c'''. Substituindo obtemos a equação de ordem dois para u:
u'' + 2x u' + (2+x^{2}) u = 0.
Assim a mudança y=c y_{1} efetivamente reduziu a ordem da EDO de 3 para 2 (para u).

Passo 5

Resolver a equação obtida para u:
u'' + 2x u' + (x^{2}+2)u = 0.
Esse tipo de equação sugere tentar uma transformação que elimine o termo de primeira derivada (ou transforme em algo conhecido). Uma boa ideia é tentar
u(x)=e^{-x^{2}/2} z(x),
pois fatores e^{\pm x^{2}/2} frequentemente simplificam termos com 2x (esse é um truque padrão: multiplicar por fator exponencial com -\int 2x/2\,dx = -x^{2}/2 para anular o termo 2x u').
Vou calcular as derivadas de u em termos de z.
Primeira derivada:
u' = (e^{-x^{2}/2} z)' = e^{-x^{2}/2}(z' - x z).
Segunda derivada:
\begin{aligned} u'' &= \big(e^{-x^{2}/2}(z' - x z)\big)'\\\ &= e^{-x^{2}/2}\big(z'' - x z' - z' + x^{2} z\big) \quad\text{(uso produto e regra da cadeia)}\\\ &= e^{-x^{2}/2}\big(z'' - 2x z' + (x^{2}-1)z\big). \end{aligned}
Agora substituo u, u', u'' na equação u'' + 2x u' + (x^{2}+2)u=0, fatorando e^{-x^{2}/2}:
\begin{aligned} &e^{-x^{2}/2}\big(z'' - 2x z' + (x^{2}-1)z\big) + 2x e^{-x^{2}/2}(z' - x z) + (x^{2}+2)e^{-x^{2}/2} z = 0. \end{aligned}
Dividindo por e^{-x^{2}/2} e somando termos semelhantes:
z'' - 2x z' + (x^{2}-1)z + 2x z' - 2x^{2} z + x^{2} z + 2 z = 0.
Os termos em z' se cancelam ( -2x z' + 2x z'=0). Os termos em x^{2}z também cancelam: x^{2}-2x^{2}+x^{2}=0. Sobra:
z'' + (-1 + 2) z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z'' + z = 0.
Excelente: reduziu para a equação clássica de oscilador harmônico simples.

Passo 6

Resolver z'' + z = 0. Essa é trivial: as soluções são combinações lineares de \cos x e \sin x:
z(x)=A\cos x + B\sin x,
onde A,B são constantes arbitrárias.
Volto agora pelas substituições:
u(x)=c'(x)=e^{-x^{2}/2}z(x)=e^{-x^{2}/2}\big(A\cos x + B\sin x\big).
Integro para obter c(x):
c(x)=\int u(x)\,dx + C_3 = A\int e^{-x^{2}/2}\cos x\,dx + B\int e^{-x^{2}/2}\sin x\,dx + C_3,
onde C_3 é constante de integração. Aqui as primitivas \int e^{-x^{2}/2}\cos x\,dx e \int e^{-x^{2}/2}\sin x\,dx não têm primitivas elementares em termos de funções elementares usuais, então mantemos como integrais (podemos escrevê-las em termos de funções especiais se necessário).
Finalmente y(x)=c(x)y_{1}(x)=c(x)e^{x^{2}/2}. Substituindo c obtemos a solução geral:
y(x)=C_{1}e^{x^{2}/2} + A\,e^{x^{2}/2}\int^{x} e^{-t^{2}/2}\cos t\,dt \;+\; B\,e^{x^{2}/2}\int^{x} e^{-t^{2}/2}\sin t\,dt,
onde troquei a constante C_{3} por C_{1} (multiplicando e^{x^{2}/2} gera o termo independente) e usei t como variável dummy de integração.
Os três parâmetros C_{1},A,B formam as três constantes independentes esperadas para a solução geral de uma EDO de terceira ordem.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x^{2}/2} + C_{2}\,e^{x^{2}/2}\int^{x} e^{-t^{2}/2}\cos t\,dt + C_{3}\,e^{x^{2}/2}\int^{x} e^{-t^{2}/2}\sin t\,dt

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