Se a divide b e a divide \mathrm{b}+\mathrm{c}, então a divide c

Passo 1

O enunciado dá duas hipóteses e pede uma conclusão. As informações oferecidas são:
  • a divide b.
  • a divide b+c.
    O que se pede: mostrar que, a partir dessas hipóteses, segue que a divide c.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de divisibilidade, porque ela é a ferramenta principal aqui. Dizemos que " a divide b" (escrevemos a\mid b) quando existe um inteiro k tal que b = a k. Nesta definição:
  • a e b são inteiros;
  • k é um inteiro qualquer que faz a igualdade valer.
    Essa é a ideia: divisibilidade significa que b é múltiplo de a.

Passo 3

Aplique a definição à primeira hipótese a\mid b. Pela definição existe um inteiro q tal que
b = a q.
Expliquei: aqui q\in\mathbb{Z} e a igualdade significa que b é um múltiplo de a.

Passo 4

Agora aplique a definição à segunda hipótese a\mid (b+c). Pela definição existe um inteiro r tal que
b + c = a r.
Novamente r\in\mathbb{Z} e essa igualdade diz que b+c é múltiplo de a.

Passo 5

Subtraímos a expressão do Passo 3 da expressão do Passo 4 para eliminar b. Ou seja, fazemos (b+c) - b. Substituindo pelas expressões em termos de a, q e r temos:
(b+c) - b = a r - a q.

Passo 6

O lado esquerdo (b+c)-b simplifica para c. No lado direito podemos fatorar a. Assim obtemos:
c = a(r - q).
Aqui usei a propriedade distributiva (fator comum): a r - a q = a(r-q).

Passo 7

Observação sobre r-q: como r e q são inteiros, a diferença r-q também é um inteiro (os inteiros são fechados sob subtração). Logo existe um inteiro, nomeemos s = r-q, tal que
c = a s.
Isso é exatamente a definição de " a divide c".

Passo 8

Concluímos a prova: a partir de a\mid b e a\mid (b+c) deduzimos que existe s\in\mathbb{Z} com c = a s, portanto a\mid c.

Passo 9

Comentário sobre o caso a=0 (para evitar confusão em prova): normalmente a definição de divisibilidade exige a\neq 0 quando se fala em “ |”. Se alguém permitir a=0 na afirmação, então 0\mid b só ocorre quando b=0. Nesse caso, se 0\mid b e 0\mid(b+c) ambos implicam b=0 e b+c=0, daí c=0 e a conclusão 0\mid c (no sentido degenerado) também vale. Na prática em provas você pode assumir a\neq0 ou mencionar esse caso rápido como fiz agora.

Passo 10

Dica rápida para prova e para a prova real: ao ver duas informações do tipo “a divide …”, sempre tente escrever cada uma como um produto a vezes um inteiro e depois combine (subtrair, somar, etc.) para eliminar termos e obter a divisibilidade desejada. É um padrão que aparece muito em exercícios.

Resposta

a\mid c

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