Se a divide b e a divide
, então a divide c
Passo 1
O enunciado dá duas hipóteses e pede uma conclusão. As informações oferecidas são:
-
divide . -
divide .
O que se pede: mostrar que, a partir dessas hipóteses, segue quedivide .
Passo 2
Vamos lembrar a definição de divisibilidade, porque ela é a ferramenta principal aqui. Dizemos que "
divide
" (escrevemos
) quando existe um inteiro
tal que
. Nesta definição:
-
e são inteiros; -
é um inteiro qualquer que faz a igualdade valer.
Essa é a ideia: divisibilidade significa queé múltiplo de .
Passo 3
Aplique a definição à primeira hipótese
. Pela definição existe um inteiro
tal que
Expliquei: aqui
e a igualdade significa que
é um múltiplo de
.
Passo 4
Agora aplique a definição à segunda hipótese
. Pela definição existe um inteiro
tal que
Novamente
e essa igualdade diz que
é múltiplo de
.
Passo 5
Subtraímos a expressão do Passo 3 da expressão do Passo 4 para eliminar
. Ou seja, fazemos
. Substituindo pelas expressões em termos de
,
e
temos:
Passo 6
O lado esquerdo
simplifica para
. No lado direito podemos fatorar
. Assim obtemos:
Aqui usei a propriedade distributiva (fator comum):
.
Passo 7
Observação sobre
: como
e
são inteiros, a diferença
também é um inteiro (os inteiros são fechados sob subtração). Logo existe um inteiro, nomeemos
, tal que
Isso é exatamente a definição de "
divide
".
Passo 8
Concluímos a prova: a partir de
e
deduzimos que existe
com
, portanto
.
Passo 9
Comentário sobre o caso
(para evitar confusão em prova): normalmente a definição de divisibilidade exige
quando se fala em “
”. Se alguém permitir
na afirmação, então
só ocorre quando
. Nesse caso, se
e
ambos implicam
e
, daí
e a conclusão
(no sentido degenerado) também vale. Na prática em provas você pode assumir
ou mencionar esse caso rápido como fiz agora.
Passo 10
Dica rápida para prova e para a prova real: ao ver duas informações do tipo “a divide …”, sempre tente escrever cada uma como um produto
vezes um inteiro e depois combine (subtrair, somar, etc.) para eliminar termos e obter a divisibilidade desejada. É um padrão que aparece muito em exercícios.