Questão 11-43 (Projeto de Eixo) “O eixo de transmissão de aço é submetido a um torque de 500 Nm e um momento fletor máximo de 800 Nm . Se a tensão de cisalhamento admissível for 60 MPa , determine o diâmetro necessário do eixo usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima.”
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o diâmetro do eixo:
- Torque:
. - Momento fletor máximo:
. - Tensão de cisalhamento admissível (critério de cisalhamento máximo):
.
Pergunta: determinar o diâmetro necessário
de um eixo circular maciço, usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca / máximo cisalhamento).
Passo 2
Primeiro vamos escrever as fórmulas das tensões na superfície de um eixo circular maciço submetido a flexão e torção:
- Tensão normal (devido à flexão) na fibra externa:
onde
é a distância da fibra externa ao centro (
) e
é o momento de inércia da seção circular:
Substituindo
e
obtemos a forma prática
- Tensão de cisalhamento (devido à torção) na superfície:
onde
é o momento polar de inércia da seção circular:
Substituindo
e
obtemos
Observação didática rápida: ambas as tensões são proporcionais a
. Ou seja, aumentar um pouco o diâmetro reduz muito as tensões.
Passo 3
Agora montamos o estado de tensões na superfície do eixo (em coordenadas planas): tensão normal
, tensão normal perpendicular
e cisalhamento
. Para esse caso de plano de tensões, os autovalores (tensões principais) são:
e a terceira tensão principal é
.
A teoria do máximo cisalhamento (Tresca) diz que o material falha quando a máxima tensão de cisalhamento excede a admissível. A máxima tensão de cisalhamento equivale a metade da diferença entre a maior e a menor tensão principal; aqui a maior diferença é
. Logo a condição de segurança é
Substituindo
obtemos a desigualdade:
Passo 4
Vamos manipular algebricamente essa desigualdade para chegar a uma equação em
. Primeiro isolamos a raiz:
Elevando ao quadrado (lembrando que o lado direito deve ser não-negativo; isso impõe
, condição que será satisfeita ao final), obtemos:
Desenvolvendo e simplificando os termos iguais, resulta
Agora substituímos as expressões de
e
em função de
. Para facilitar, define-se
. Também defina constantes
de modo que
e
. Substituindo na desigualdade obtemos (no limite de segurança, com igualdade)
Reorganizando, temos a equação quadrática em
:
Resolvendo essa quadrática para
(raiz positiva física) e simplificando, obtém-se a forma fechada conveniente
Depois de encontrar
, recupera-se o diâmetro por
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente passo a passo (unidades SI):
Dados numéricos:
Constantes
e
:
Cálculo de
usando a fórmula fechada:
Calculando os termos:
Logo
Agora
Finalmente
Convertendo para milímetros:
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: com
as tensões de flexão e torção na superfície são
Isso confirma coerência das ordens de grandeza. Se preferir, arredonde o diâmetro comercialmente para um valor padrão maior (por exemplo
ou
) para incluir folgas de fabricação e segurança adicional.