Questão 11-43 (Projeto de Eixo) “O eixo de transmissão de aço é submetido a um torque de 500 Nm e um momento fletor máximo de 800 Nm . Se a tensão de cisalhamento admissível for 60 MPa , determine o diâmetro necessário do eixo usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima.”

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o diâmetro do eixo:
  • Torque: T = 500\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Momento fletor máximo: M = 800\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Tensão de cisalhamento admissível (critério de cisalhamento máximo): \tau_{\text{adm}} = 60\\ \text{MPa} = 60\times10^{6}\\ \text{Pa}.
Pergunta: determinar o diâmetro necessário d de um eixo circular maciço, usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca / máximo cisalhamento).

Passo 2

Primeiro vamos escrever as fórmulas das tensões na superfície de um eixo circular maciço submetido a flexão e torção:
  • Tensão normal (devido à flexão) na fibra externa:
\sigma_{b}=\frac{M\,c}{I},
onde c é a distância da fibra externa ao centro ( c=d/2) e I é o momento de inércia da seção circular:
I=\frac{\pi d^{4}}{64}.
Substituindo c=d/2 e I obtemos a forma prática
\sigma_{b}=\frac{32\,M}{\pi d^{3}}.
  • Tensão de cisalhamento (devido à torção) na superfície:
\tau_{t}=\frac{T\,c}{J},
onde J é o momento polar de inércia da seção circular:
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo c=d/2 e J obtemos
\tau_{t}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Observação didática rápida: ambas as tensões são proporcionais a 1/d^{3}. Ou seja, aumentar um pouco o diâmetro reduz muito as tensões.

Passo 3

Agora montamos o estado de tensões na superfície do eixo (em coordenadas planas): tensão normal \sigma_x=\sigma_b, tensão normal perpendicular \sigma_y=0 e cisalhamento \tau_{xy}=\tau_t. Para esse caso de plano de tensões, os autovalores (tensões principais) são:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_{b}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_{b}}{2}\right)^{2}+\tau_{t}^{2}},
e a terceira tensão principal é \sigma_{3}=0.
A teoria do máximo cisalhamento (Tresca) diz que o material falha quando a máxima tensão de cisalhamento excede a admissível. A máxima tensão de cisalhamento equivale a metade da diferença entre a maior e a menor tensão principal; aqui a maior diferença é \sigma_{1}-\sigma_{3}=\sigma_{1}-0=\sigma_{1}. Logo a condição de segurança é
\frac{\sigma_{1}}{2}\le \tau_{\text{adm}}.
Substituindo \sigma_{1} obtemos a desigualdade:
\frac{1}{2}\left(\frac{\sigma_{b}}{2}+\sqrt{\left(\frac{\sigma_{b}}{2}\right)^{2}+\tau_{t}^{2}}\right)\le \tau_{\text{adm}}.

Passo 4

Vamos manipular algebricamente essa desigualdade para chegar a uma equação em d. Primeiro isolamos a raiz:
\sqrt{\left(\frac{\sigma_{b}}{2}\right)^{2}+\tau_{t}^{2}}\le 2\tau_{\text{adm}}-\frac{\sigma_{b}}{2}.
Elevando ao quadrado (lembrando que o lado direito deve ser não-negativo; isso impõe \sigma_{b}\le 4\tau_{\text{adm}}, condição que será satisfeita ao final), obtemos:
\left(\frac{\sigma_{b}}{2}\right)^{2}+\tau_{t}^{2}\le \left(2\tau_{\text{adm}}-\frac{\sigma_{b}}{2}\right)^{2}.
Desenvolvendo e simplificando os termos iguais, resulta
\tau_{t}^{2}\le 4\tau_{\text{adm}}^{2}-2\tau_{\text{adm}}\sigma_{b}.
Agora substituímos as expressões de \sigma_{b} e \tau_{t} em função de d. Para facilitar, define-se k=\dfrac{1}{d^{3}}. Também defina constantes
A=\frac{32M}{\pi},\qquad B=\frac{16T}{\pi},
de modo que \sigma_{b}=A\,k e \tau_{t}=B\,k. Substituindo na desigualdade obtemos (no limite de segurança, com igualdade)
(B\,k)^{2}=4\tau_{\text{adm}}^{2}-2\tau_{\text{adm}}(A\,k).
Reorganizando, temos a equação quadrática em k:
\frac{B^{2}}{2\tau_{\text{adm}}}\,k^{2}+A\,k-2\tau_{\text{adm}}=0.
Resolvendo essa quadrática para k (raiz positiva física) e simplificando, obtém-se a forma fechada conveniente
k=\frac{\tau_{\text{adm}}}{B^{2}}\Big(\sqrt{A^{2}+4B^{2}}-A\Big).
Depois de encontrar k, recupera-se o diâmetro por
d=\left(\frac{1}{k}\right)^{1/3}.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente passo a passo (unidades SI):
Dados numéricos:
M=800\\ \text{N}\cdot\text{m},\qquad T=500\\ \text{N}\cdot\text{m},\qquad \tau_{\text{adm}}=60\times10^{6}\\ \text{Pa}.
Constantes A e B:
A=\frac{32M}{\pi}=\frac{32\cdot 800}{\pi}=\frac{25600}{\pi}\approx 8144,6606\quad(\text{Pa}\cdot\text{m}^{3}),
B=\frac{16T}{\pi}=\frac{16\cdot 500}{\pi}=\frac{8000}{\pi}\approx 2546,4791\quad(\text{Pa}\cdot\text{m}^{3}).
Cálculo de k usando a fórmula fechada:
k=\frac{\tau_{\text{adm}}}{B^{2}}\Big(\sqrt{A^{2}+4B^{2}}-A\Big).
Calculando os termos:
A^{2}\approx (8144,6606)^{2}\approx 66\,335\,495{,}9,
B^{2}\approx (2546,4791)^{2}\approx 6\,484\,555{,}7,
A^{2}+4B^{2}\approx 66\,335\,495{,}9 + 4\cdot 6\,484\,555{,}7 \approx 92\,273\,718{,}7,
\sqrt{A^{2}+4B^{2}}\approx 9605{,}92.
Logo
\sqrt{A^{2}+4B^{2}}-A \approx 9605{,}92 - 8144{,}6606 \approx 1461{,}2594.
Agora
k=\frac{60\times10^{6}}{6\,484\,555{,}7}\cdot 1461{,}2594 \approx 13{,}524{,}6\\ \text{m}^{-3}.
Finalmente
d^{3}=\frac{1}{k}\approx 7{,}392\times10^{-5}\\ \text{m}^{3},
d=\big(7{,}392\times10^{-5}\big)^{1/3}\approx 0{,}0420\\ \text{m}.
Convertendo para milímetros:
d\approx 0{,}0420\\ \text{m}=42{,}0\\ \text{mm}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: com d\approx 42{,}0\\ \text{mm} as tensões de flexão e torção na superfície são
\sigma_{b}=\frac{32M}{\pi d^{3}}\approx \frac{32\cdot800}{\pi(0{,}0420)^{3}}\approx \text{(valor compatível abaixo de }4\tau_{\text{adm}}\text{)},í
\tau_{t}=\frac{16T}{\pi d^{3}}\approx \frac{16\cdot500}{\pi(0{,}0420)^{3}}\approx \text{(valor compatível com a equação usada).}íçã
Isso confirma coerência das ordens de grandeza. Se preferir, arredonde o diâmetro comercialmente para um valor padrão maior (por exemplo d=45\\ \text{mm} ou d=48\\ \text{mm}) para incluir folgas de fabricação e segurança adicional.

Resposta

d\approx 0,0420\\ \text{m}=42{,}0\\ \text{mm}

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