A divisão áurea de um segmento de comprimento \ell é a divisão deste em duas partes na qual a menor está para a maior assim como a maior está para o todo, ou seja, a razão entre a parte menor e a maior é igual a razão entre a maior e o todo. Se \ell é racional, deduza que as partes (da divisão áurea) são irracionais. Se \ell é irracional, é possível deduzir algo? Sugestão: Fórmula de Báskara.

Passo 1

O enunciado trata da divisão áurea de um segmento de comprimento \ell. Chamando de x a parte menor e de \ell - x a parte maior, a condição da divisão áurea é
\frac{x}{\ell - x} \;=\;\frac{\ell - x}{\ell}.
Vamos achar x em função de \ell usando álgebra e depois discutir a racionalidade de x e de \ell - x.

Passo 2

Partindo de
\frac{x}{\ell - x} = \frac{\ell - x}{\ell},
multiplicamos em cruz e obtemos
x\,\ell = (\ell - x)^2.
Expandindo o quadrado:
x\,\ell = \ell^2 - 2\ell x + x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 3\ell x + \ell^2 = 0.
Essa é uma equação quadrática em x.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara em
x^2 - 3\ell x + \ell^2 = 0.
O discriminante é
\Delta = ( -3\ell )^2 - 4\cdot1\cdot\ell^2 = 9\ell^2 -4\ell^2 =5\ell^2,
logo
x = \frac{3\ell \pm \sqrt{5\ell^2}}{2} = \frac{3\ell \pm \ell\sqrt{5}}{2} = \ell\,\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}.
Dessas duas raízes, a que cabe como “parte menor” é
x = \ell\,\frac{3 - \sqrt{5}}{2},
e a “parte maior” é
\ell - x = \ell - \ell\,\frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \ell\,\frac{\sqrt{5}-1}{2}.

Passo 4

Suponha agora que \ell seja racional. As frações \tfrac{3-\sqrt{5}}{2} e \tfrac{\sqrt{5}-1}{2} são irracionais (envolvem \sqrt{5}\notin\mathbb{Q}). Então cada parte é
x = \ell\cdot\frac{3-\sqrt{5}}{2}, \quad \ell - x = \ell\cdot\frac{\sqrt{5}-1}{2},
produto de um racional não-zero por um irracional, logo ambas as partes são irracionais.

Passo 5

Se \ell for irracional, cada parte continua valendo \ell vezes uma expressão irracional. Mas o produto de dois números irracionais pode ser racional ou irracional, dependendo do caso. Por exemplo, se
\ell = \frac{3+\sqrt{5}}{2},
então a parte menor
x = \ell\,\frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{3 - \sqrt{5}}{2} =1
é racional, embora \ell seja irracional. Logo não há conclusão geral sobre a racionalidade das partes quando \ell é irracional.

Resposta

Se \ell é racional, as partes são
x = \ell\,\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \quad\text{e}\quad \ell - x = \ell\,\frac{\sqrt{5}-1}{2},
ambas irracionais.
Se \ell é irracional, não se pode afirmar em geral se as partes são racionais ou irracionais.

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