A divisão áurea de um segmento de comprimento
é a divisão deste em duas partes na qual a menor está para a maior assim como a maior está para o todo, ou seja, a razão entre a parte menor e a maior é igual a razão entre a maior e o todo. Se
é racional, deduza que as partes (da divisão áurea) são irracionais. Se
é irracional, é possível deduzir algo? Sugestão: Fórmula de Báskara.
Passo 1
O enunciado trata da divisão áurea de um segmento de comprimento
. Chamando de
a parte menor e de
a parte maior, a condição da divisão áurea é
Vamos achar
em função de
usando álgebra e depois discutir a racionalidade de
e de
.
Passo 2
Partindo de
multiplicamos em cruz e obtemos
Expandindo o quadrado:
Essa é uma equação quadrática em
.
Passo 3
Aplicamos a fórmula de Bhaskara em
O discriminante é
logo
Dessas duas raízes, a que cabe como “parte menor” é
e a “parte maior” é
Passo 4
Suponha agora que
seja racional. As frações
e
são irracionais (envolvem
). Então cada parte é
produto de um racional não-zero por um irracional, logo ambas as partes são irracionais.
Passo 5
Se
for irracional, cada parte continua valendo
vezes uma expressão irracional. Mas o produto de dois números irracionais pode ser racional ou irracional, dependendo do caso. Por exemplo, se
então a parte menor
é racional, embora
seja irracional. Logo não há conclusão geral sobre a racionalidade das partes quando
é irracional.
Resposta
Se
é racional, as partes são
ambas irracionais.
Se é irracional, não se pode afirmar em geral se as partes são racionais ou irracionais.
Se