(a) Se x \geq 0 e x \leq y, mostre que x^{2} \leq y^{2}. (b) Mostre que a afirmação anterior é falsa se considerarmos x, y quaisquer números reais. (c) Se 0 \leq x \leq y, justifique se \sqrt{x} \leq \sqrt{y}.

Passo 1

O enunciado trata de desigualdades envolvendo as funções “quadrado” e “raiz quadrada”. Para (a) precisamos usar que a função f(t)=t^2 é crescente em [0,\infty); para (b) veremos que isso falha fora desse domínio; para (c) usaremos que g(t)=\sqrt{t} é crescente em [0,\infty).

Passo 2

Para (a), suponha 0 \le x \le y. Então y - x \ge 0 e, como x \ge 0, temos também y + x \ge 0. Observe que
y^2 - x^2 = (y - x)(y + x).
O produto de dois números não negativos é não negativo, logo
y^2 - x^2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 \le y^2.

Passo 3

Para (b), basta dar um contraexemplo com x,y reais quaisquer. Por exemplo, tome x=-2 e y=-1. Então x\le y mas
x^2 = (-2)^2 = 4 > 1 = (-1)^2 = y^2,
mostrando que a afirmação de (a) não vale para todos os reais.

Passo 4

Para (c), suponha 0 \le x \le y. A função g(t)=\sqrt{t} tem derivada
g'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}}>0 \quad\text{para }t>0,
logo é crescente em [0,\infty). Portanto
x \le y \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x} \le \sqrt{y}.

Resposta

(a) Se 0\le x\le y então x^2\le y^2.
(b) Falsa no caso geral: por exemplo x=-2, y=-1 x^2>y^2.
(c) Sim, como \sqrt{t} é crescente em [0,\infty), temos 0\le x\le y\implies\sqrt{x}\le\sqrt{y}.

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