Na divisão euclidiana de dois inteiros positivos, o quociente é 18 e o resto é o maior possível. Encontrar os dois inteiros, sabendo-se que a soma entre eles é 321.

Passo 1

Vamos chamar de a o dividendo e de b o divisor. A divisão euclidiana diz que
a = b\cdot q + r,
onde q é o quociente e r o resto, com
0 \le r < b.
Aqui temos q=18, o resto é o maior possível e ainda vale
a + b = 321.

Passo 2

“Resto é o maior possível” significa que r atinge seu máximo, ou seja
r = b - 1.
Substituindo em a = b\cdot 18 + r, vem
a = 18b + (b-1) = 19b - 1.

Passo 3

Como a + b = 321, substituímos a:
(19b - 1) + b = 321
20b - 1 = 321
20b = 322
b = \frac{322}{20} = 16{,}1
que não é inteiro.

Passo 4

Como b não sai inteiro, não há nenhuma dupla de inteiros positivos (a,b) que satisfaça simultaneamente
\begin{cases} a = 18b + r,\\\ r = b - 1,\\\ a + b = 321. \end{cases}

Resposta

Não existem dois inteiros positivos que satisfaçam todas as condições.

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