Na divulgação dos resultados de uma pesquisa, publicou-se o seguinte texto (dados fictícios): Com o objetivo de estimar a média de uma população, estudou-se uma amostra de tamanho 45. De estudos anteriores, sabe-se que essa população é muito bem aproximada por uma distribuição normal com variância igual a 9, mas acredita-se que a média tenha mudado desde esse último estudo. Com os dados amostrais, obteve-se o intervalo de confiança
com uma margem de erro de 0,61 . Qual a média amostral e o nível de confiança que não foram divulgados?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma pesquisa que estima a média de uma população usando uma amostra de tamanho 45. Sabemos que a população segue uma distribuição normal com variância igual a 9. A pesquisa encontrou um intervalo de confiança entre 1,79 e 3,01, com uma margem de erro de 0,61. O que a gente precisa descobrir é qual foi a média amostral e o nível de confiança que não foram divulgados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a média amostral. O intervalo de confiança é dado por:
Sabemos que o intervalo é de 1,79 a 3,01 e a margem de erro é 0,61. Para achar a média amostral, podemos calcular a média dos limites inferior e superior do intervalo:
Então, a média amostral é 2,40.
Passo 3
Agora, vamos descobrir o nível de confiança. A margem de erro está relacionada ao valor crítico da distribuição normal (z) pela fórmula:
Onde:
-
é o desvio padrão da população, que é a raiz quadrada da variância. Como a variância é 9, . -
é o tamanho da amostra, que é 45.
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar z:
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de z na tabela da distribuição normal padrão. Um z de aproximadamente 1,366 corresponde a uma probabilidade de cerca de 0,9147 para um lado.
Como o intervalo de confiança considera os dois lados (superior e inferior), multiplicamos essa probabilidade por 2 e subtraímos 1:
Resposta
A média amostral é 2,40 e o nível de confiança é aproximadamente 82,94%.