Isopódios, ou tatuzinhos, usam o musgo, samambaia e até hera venenosa como abrigo. Alguns cientistas acreditam que o abrigo natural preferido é o trevo vermelho, e que a densidade de tatuzinhos pode ser predita por intermédio da densidade dos trevos vermelhos. Obteve-se uma amostra aleatória de campos. Registraram-se o número de plantas de trevo vermelho por metro quadrado
e o número de tatuzinhos por metro quadrado (y) para cada campo. Os dados são apresentados a seguir:
5,9
3,6
8,8
11,7
6,3
5,0
4,5
4,9
10,4
5,0
108
86
103
136
9
4
68
91
101
56
4,4
9,1
6,3
10,9
5,7
8,4
13,3
14,2
10,2
3,6
1,2
136
99
94
145
124
177
259
101
7
a) Ache a reta de regressão estimada.
|
5,9 | 3,6 | 8,8 | 11,7 | 6,3 | 5,0 | 4,5 | 4,9 | 10,4 | 5,0 |
|
108 | 86 | 103 | 136 | 9 | 4 | 68 | 91 | 101 | 56 |
|
4,4 | 9,1 | 6,3 | 10,9 | 5,7 | 8,4 | 13,3 | 14,2 | 10,2 | 3,6 |
|
1,2 | 136 | 99 | 94 | 145 | 124 | 177 | 259 | 101 | 7 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a relação entre a densidade de trevos vermelhos por metro quadrado (x) e a densidade de tatuzinhos por metro quadrado (y). A gente vai usar regressão linear para encontrar uma reta que estime essa relação. Para isso, precisamos calcular alguns valores como a média de x e y, os produtos x*y, e os quadrados de x. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados para facilitar os cálculos. Temos 20 pares de valores de x e y:
x | y |
---|---|
5,9 | 108 |
3,6 | 86 |
8,8 | 103 |
11,7 | 136 |
6,3 | 9 |
5,0 | 4 |
4,5 | 68 |
4,9 | 91 |
10,4 | 101 |
5,0 | 56 |
4,4 | 1,2 |
9,1 | 136 |
6,3 | 99 |
10,9 | 94 |
5,7 | 145 |
8,4 | 124 |
13,3 | 177 |
14,2 | 259 |
10,2 | 101 |
3,6 | 7 |
Passo 3
Agora, vamos calcular alguns valores importantes:
- Soma de x ($ \Sigma x $)
- Soma de y ($ \Sigma y $)
- Soma de x multiplicado por y ($ \Sigma xy $)
- Soma de x ao quadrado ($ \Sigma x^2 $)
- Número de observações (n)
Vamos fazer esses cálculos:
x | y | xy | x² |
---|---|---|---|
5,9 | 108 | 637,2 | 34,81 |
3,6 | 86 | 309,6 | 12,96 |
8,8 | 103 | 906,4 | 77,44 |
11,7 | 136 | 1591,2 | 136,89 |
6,3 | 9 | 56,7 | 39,69 |
5,0 | 4 | 20 | 25 |
4,5 | 68 | 306 | 20,25 |
4,9 | 91 | 445,9 | 24,01 |
10,4 | 101 | 1050,4 | 108,16 |
5,0 | 56 | 280 | 25 |
4,4 | 1,2 | 5,28 | 19,36 |
9,1 | 136 | 1237,6 | 82,81 |
6,3 | 99 | 623,7 | 39,69 |
10,9 | 94 | 1022,6 | 118,81 |
5,7 | 145 | 826,5 | 32,49 |
8,4 | 124 | 1041,6 | 70,56 |
13,3 | 177 | 2354,1 | 176,89 |
14,2 | 259 | 3677,8 | 201,64 |
10,2 | 101 | 1030,2 | 104,04 |
3,6 | 7 | 25,2 | 12,96 |
Total | 13613,7 | 1063,63 |
- $ \Sigma x = 5,9 + 3,6 + … + 3,6 = 130,6 $
- $ \Sigma y = 108 + 86 + … + 7 = 1601,2 $
- $ \Sigma xy = 13613,7 $
- $ \Sigma x^2 = 1063,63 $
- $ n = 20 $
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da regressão linear para encontrar os coeficientes da reta $ y = a x + b $.
As fórmulas para os coeficientes são:
Vamos substituir os valores que calculamos:
Primeiro, calculando o numerador:
Agora, o denominador:
Agora, calculando a inclinação $ a $:
Passo 5
Agora que temos o valor de $ a $, vamos calcular o intercepto $ b $:
Primeiro, multiplicando $ a \times \Sigma x $:
Agora, substituindo:
Resposta
A reta de regressão estimada é: