Isopódios, ou tatuzinhos, usam o musgo, samambaia e até hera venenosa como abrigo. Alguns cientistas acreditam que o abrigo natural preferido é o trevo vermelho, e que a densidade de tatuzinhos pode ser predita por intermédio da densidade dos trevos vermelhos. Obteve-se uma amostra aleatória de campos. Registraram-se o número de plantas de trevo vermelho por metro quadrado (x) e o número de tatuzinhos por metro quadrado (y) para cada campo. Os dados são apresentados a seguir:
lllllllllll hline$x1$ & 5,9 & 3,6 & 8,8 & 11,7 & 6,3 & 5,0 & 4,5 & 4,9 & 10,4 & 5,0 hline$y1$ & 108 & 86 & 103 & 136 & 9 & 4 & 68 & 91 & 101 & 56 hline$ximath$ & 4,4 & 9,1 & 6,3 & 10,9 & 5,7 & 8,4 & 13,3 & 14,2 & 10,2 & 3,6 hline$y2$ & 1,2 & 136 & 99 & 94 & 145 & 124 & 177 & 259 & 101 & 7 hline 5,9 3,6 8,8 11,7 6,3 5,0 4,5 4,9 10,4 5,0
108 86 103 136 9 4 68 91 101 56
4,4 9,1 6,3 10,9 5,7 8,4 13,3 14,2 10,2 3,6
1,2 136 99 94 145 124 177 259 101 7
a) Ache a reta de regressão estimada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a relação entre a densidade de trevos vermelhos por metro quadrado (x) e a densidade de tatuzinhos por metro quadrado (y). A gente vai usar regressão linear para encontrar uma reta que estime essa relação. Para isso, precisamos calcular alguns valores como a média de x e y, os produtos x*y, e os quadrados de x. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados para facilitar os cálculos. Temos 20 pares de valores de x e y:
x y
5,9 108
3,6 86
8,8 103
11,7 136
6,3 9
5,0 4
4,5 68
4,9 91
10,4 101
5,0 56
4,4 1,2
9,1 136
6,3 99
10,9 94
5,7 145
8,4 124
13,3 177
14,2 259
10,2 101
3,6 7

Passo 3

Agora, vamos calcular alguns valores importantes:
  1. Soma de x ($ \Sigma x $)
  2. Soma de y ($ \Sigma y $)
  3. Soma de x multiplicado por y ($ \Sigma xy $)
  4. Soma de x ao quadrado ($ \Sigma x^2 $)
  5. Número de observações (n)
Vamos fazer esses cálculos:
x y xy
5,9 108 637,2 34,81
3,6 86 309,6 12,96
8,8 103 906,4 77,44
11,7 136 1591,2 136,89
6,3 9 56,7 39,69
5,0 4 20 25
4,5 68 306 20,25
4,9 91 445,9 24,01
10,4 101 1050,4 108,16
5,0 56 280 25
4,4 1,2 5,28 19,36
9,1 136 1237,6 82,81
6,3 99 623,7 39,69
10,9 94 1022,6 118,81
5,7 145 826,5 32,49
8,4 124 1041,6 70,56
13,3 177 2354,1 176,89
14,2 259 3677,8 201,64
10,2 101 1030,2 104,04
3,6 7 25,2 12,96
Total 13613,7 1063,63
  • $ \Sigma x = 5,9 + 3,6 + … + 3,6 = 130,6 $
  • $ \Sigma y = 108 + 86 + … + 7 = 1601,2 $
  • $ \Sigma xy = 13613,7 $
  • $ \Sigma x^2 = 1063,63 $
  • $ n = 20 $

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da regressão linear para encontrar os coeficientes da reta $ y = a x + b $.
As fórmulas para os coeficientes são:
y = a x + b
a = n Sigma xy - (Sigma x)(Sigma y)n Sigma x^2 - (Sigma x)^2
Vamos substituir os valores que calculamos:
b = Sigma y - a Sigma xn
Primeiro, calculando o numerador:
a = 20 times 13613,7 - 130,6 times 1601,220 times 1063,63 - (130,6)^2
20 times 13613,7 = 272274
130,6 times 1601,2 = 208331,52
Agora, o denominador:
272274 - 208331,52 = 63942,48
20 times 1063,63 = 21272,6
(130,6)^2 = 17056,36
Agora, calculando a inclinação $ a $:
21272,6 - 17056,36 = 4216,24

Passo 5

Agora que temos o valor de $ a $, vamos calcular o intercepto $ b $:
a
Primeiro, multiplicando $ a \times \Sigma x $:
b
Agora, substituindo:
b = 1601,2 - 15,16 times 130,620

Resposta

A reta de regressão estimada é:
boxedy = 15,16,x - 18,85

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