O que diz a hipótese do contínuo?
Passo 1
Beleza, então a pergunta é “O que diz a hipótese do contínuo?”. Isso cai em teoria de conjuntos, mais especificamente em cardinalidade de conjuntos infinitos. Para resolver a gente vai precisar entender:
- O que é cardinalidade (tamanho) de um conjunto.
- O que significa um conjunto ser contável ou não contável.
- O que são os símbolos
, e .
Passo 2
Primeiro, cardinalidade é só um jeito sofisticado de falar “tamanho” de conjunto.
- Se um conjunto é finito, tipo
, a cardinalidade é 3. - Para conjuntos infinitos, usamos símbolos:
- O conjunto dos naturais
tem cardinalidade (lê-se “alef zero”), significa “infinito contável”. - O conjunto das partes de
(ou seja, ) tem cardinalidade . É provado que é maior que , e corresponde ao tamanho dos reais .
- O conjunto dos naturais
Passo 3
Vamos falar de contável vs não contável:
- Contável = tamanho igual a
, dá pra listar os elementos numa sequência infinita. - Não contável = não dá pra listar; tipo
, que tem cardinalidade .
Passo 4
A hipótese do contínuo pergunta: existe algum tamanho de conjunto que fique estritamente entre esses dois? Ou seja, será que existe um cardinal
tal que
A hipótese do contínuo diz que não: não tem nenhum
intermediário.
Passo 5
Traduzindo na notação clássica da hipótese do contínuo:
Onde
é o próximo infinito depois de
.
Resposta
A hipótese do contínuo afirma que não existe nenhum cardinal estritamente entre
(o tamanho dos naturais) e
(o tamanho dos reais). Em outras palavras,