O que diz a hipótese do contínuo?

Passo 1

Beleza, então a pergunta é “O que diz a hipótese do contínuo?”. Isso cai em teoria de conjuntos, mais especificamente em cardinalidade de conjuntos infinitos. Para resolver a gente vai precisar entender:
  1. O que é cardinalidade (tamanho) de um conjunto.
  2. O que significa um conjunto ser contável ou não contável.
  3. O que são os símbolos , e .

Passo 2

Primeiro, cardinalidade é só um jeito sofisticado de falar “tamanho” de conjunto.
  • Se um conjunto é finito, tipo , a cardinalidade é 3.
  • Para conjuntos infinitos, usamos símbolos:
    • O conjunto dos naturais tem cardinalidade (lê-se “alef zero”), significa “infinito contável”.
    • O conjunto das partes de (ou seja, ) tem cardinalidade . É provado que é maior que , e corresponde ao tamanho dos reais .

Passo 3

Vamos falar de contável vs não contável:
  • Contável = tamanho igual a , dá pra listar os elementos numa sequência infinita.
  • Não contável = não dá pra listar; tipo , que tem cardinalidade .

Passo 4

A hipótese do contínuo pergunta: existe algum tamanho de conjunto que fique estritamente entre esses dois? Ou seja, será que existe um cardinal a<=ph0 < kappa < 2^a<=ph0; ? tal que
A hipótese do contínuo diz que não: não tem nenhum intermediário.

Passo 5

Traduzindo na notação clássica da hipótese do contínuo:
2^a<=ph0 = a<=ph1
Onde é o próximo infinito depois de .

Resposta

A hipótese do contínuo afirma que não existe nenhum cardinal estritamente entre 2^a<=ph0 = a<=ph1 (o tamanho dos naturais) e (o tamanho dos reais). Em outras palavras,

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