Deduza a equação fundamental da estática dos fluidos e discuta suas aplicações.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente deduzir a equação fundamental da estática dos fluidos e depois discutir onde isso vale. Isso é parte de Mecânica dos Fluidos (seção de estática), e pra resolver a gente vai precisar:
  1. Entender o que é pressão num fluido.
  2. Montar um equilíbrio de forças num pedacinho de fluido.
  3. Usar o peso desse pedacinho (ρ·g·volume).
  4. Integrar a expressão diferencial que surgir.

Passo 2

Vamos pegar um “pedaço” de fluido em forma de cilindro, área da base A e espessura dz, imerso num fluido de densidade rho.
  1. Força de pressão de baixo pra cima: Fbase = p(z),A
    2) Força de pressão de cima pra baixo:
    Ftopo = p(z+dz),A = [p(z)+dp],A
  2. Peso desse cilindro: Fg = rho,g,(A,dz)
    Como o fluido está em repouso, somatório das forças = 0:
    Fbase - Ftopo - Fg = 0
Substituindo:
p(z),A - [p(z)+dp],A - rho g A,dz = 0
Isso vira:
-,dp,A - rho g A,dz = 0 Longrightarrow dp = -,rho,g,dz

Passo 3

Agora a gente integra essa diferencial. Escolhe duas alturas, z0 (referência) com pressão p0 e z com pressão p:
$$\int_{p_0}^{p} dp = -\rho g \int_{z_0}^{z} dz
\quad\Longrightarrow\quad p - p_0 = -\rho g (z - z_0). integralp0^p dp = -rho g integralz0^z dz Longrightarrow p - p0 = -rho g (z - z0)\boxed{p = p_0 + \rho,g,h.}$$

Passo 4

Onde isso vale na prática?
  • Em reservatórios e barragens: calcula a força que a água faz na parede.
  • Em barômetros e manômetros: mede pressão de gases ou líquidos.
  • Na atmosfera: dá a variação de pressão com altitude (aqui a densidade varia, mas o princípio é o mesmo).
  • Em medicina: ajuda a entender a pressão sanguínea em diferentes pontos do corpo.
  • Em submarinos e mergulho: a pressão cresce com a profundidade.

Resposta

A equação fundamental da estática dos fluidos é
dpdz = -,rho,g,
e, integrando com uma referência p0 a z0, temos
p = p0 + rho,g,(z - z0)(ou, para z0=0, p = p0 + rho g h)
Suas aplicações incluem o cálculo de forças em barragens, leitura de manômetros/barômetros, variação de pressão na atmosfera, análise de pressão sanguínea, projeto de submarinos e qualquer situação envolvendo fluidos em repouso.

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