Deduza a equação fundamental da estática dos fluidos e discuta suas aplicações.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente deduzir a equação fundamental da estática dos fluidos e depois discutir onde isso vale. Isso é parte de Mecânica dos Fluidos (seção de estática), e pra resolver a gente vai precisar:
- Entender o que é pressão num fluido.
- Montar um equilíbrio de forças num pedacinho de fluido.
- Usar o peso desse pedacinho (ρ·g·volume).
- Integrar a expressão diferencial que surgir.
Passo 2
Vamos pegar um “pedaço” de fluido em forma de cilindro, área da base
e espessura
, imerso num fluido de densidade
.
- Força de pressão de baixo pra cima:
2) Força de pressão de cima pra baixo:
- Peso desse cilindro:
Como o fluido está em repouso, somatório das forças = 0:
Substituindo:
Isso vira:
Passo 3
Agora a gente integra essa diferencial. Escolhe duas alturas,
(referência) com pressão
e
com pressão
:
$$\int_{p_0}^{p} dp = -\rho g \int_{z_0}^{z} dz
\quad\Longrightarrow\quad p - p_0 = -\rho g (z - z_0).
\boxed{p = p_0 + \rho,g,h.}$$
Passo 4
Onde isso vale na prática?
- Em reservatórios e barragens: calcula a força que a água faz na parede.
- Em barômetros e manômetros: mede pressão de gases ou líquidos.
- Na atmosfera: dá a variação de pressão com altitude (aqui a densidade varia, mas o princípio é o mesmo).
- Em medicina: ajuda a entender a pressão sanguínea em diferentes pontos do corpo.
- Em submarinos e mergulho: a pressão cresce com a profundidade.
Resposta
A equação fundamental da estática dos fluidos é
e, integrando com uma referência
Suas aplicações incluem o cálculo de forças em barragens, leitura de manômetros/barômetros, variação de pressão na atmosfera, análise de pressão sanguínea, projeto de submarinos e qualquer situação envolvendo fluidos em repouso.