Diz-se que um inteiro positivo com 2 ou mais algarismos é “crescente”, se cada um desses algarismos, a partir do segundo, for maior que o algarismo que o precede. Por exemplo, o número 134789 é “crescente” enquanto que o número 2435 não é “crescente”. Portanto, o número de inteiros positivos “crescentes” com 5 algarismos é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão fala sobre números inteiros positivos com 5 algarismos que são “crescente”, ou seja, cada algarismo à direita é maior que o da esquerda. Vamos usar combinatória para resolver isso, especificamente combinações, porque vamos escolher algarismos sem repetir e em ordem crescente.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nos algarismos disponíveis. Como estamos falando de números de 5 dígitos, o primeiro algarismo não pode ser zero. Então, temos os algarismos de 1 a 9 para escolher.

Passo 3

Queremos formar números com 5 algarismos diferentes, onde cada algarismo subsequente é maior que o anterior. Isso significa que a ordem dos algarismos está automaticamente definida uma vez que os escolhermos. Por exemplo, se escolhemos os algarismos 1, 3, 5, 7, 9, o único número crescente possível é 13579.

Passo 4

Como a ordem está definida, o problema reduz-se a escolher 5 algarismos distintos dentre os 9 disponíveis (de 1 a 9). A quantidade de maneiras de fazer isso é dada pelo conceito de combinação, que calcula quantas subconjuntos podemos formar sem se importar com a ordem dos elementos.

Passo 5

A fórmula para combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde $ n $ é o total de elementos e $ k $ é o número de elementos a serem escolhidos. No nosso caso, $ n = 9 $ e $ k = 5 $.

Passo 6

Aplicando os valores na fórmula:
C(9, 5) = 9!5!(9 - 5)! = 9!5!4!
Calculando:
C(9, 5) = 362880120 times 24 = 3628802880 = 126

Resposta

Existem 126 números inteiros positivos com 5 algarismos que são crescentes.

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