Diz-se que um operador linear
é nilpotente se existir um número inteiro positivo
, tal que
. Seja
nilpotente. Encontre seus autovalores.
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear nilpotente
, isto é, existe um inteiro positivo
tal que
. O conteúdo é autovalores de operadores lineares e a propriedade de nilpotência; vamos usar a definição de autovalor e a condição
para encontrar os valores próprios de
.
Passo 2
Suponha que
seja um autovalor de
com autovetor não nulo
, ou seja,
Pela linearidade de
, aplica-se
repetidamente para obter
e, por indução,
Passo 3
Como
, vale
para todo
. Em particular,
Como
, concluímos que
, o que implica
.
Passo 4
Portanto, o único número
que satisfaz a equação de autovalor
para algum
é
. Em outras palavras, o único autovalor de um operador nilpotente é zero.
Resposta
O único autovalor de
é
(com multiplicidade algébrica igual à dimensão de
).