Diz-se que um operador linear T: V V é nilpotente se existir um número inteiro positivo n, tal que T^n=0. Seja T nilpotente. Encontre seus autovalores.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear nilpotente T:Vto V, isto é, existe um inteiro positivo n tal que T^n=0. O conteúdo é autovalores de operadores lineares e a propriedade de nilpotência; vamos usar a definição de autovalor e a condição T^n=0 para encontrar os valores próprios de T.

Passo 2

Suponha que lambda seja um autovalor de T com autovetor não nulo v, ou seja,
T(v)=lambda v
Pela linearidade de T, aplica-se T repetidamente para obter
T^2(v)=Tl(T(v)r)=T(lambda v)=lambda T(v)=lambda^2v,
e, por indução,
T^n(v)=lambda^n v

Passo 3

Como T^n=0, vale T^n(v)=0 para todo v. Em particular,
lambda^n v=T^n(v)=0
Como vneq0, concluímos que lambda^n=0, o que implica lambda=0.

Passo 4

Portanto, o único número lambda que satisfaz a equação de autovalor T(v)=lambda v para algum vneq0 é lambda=0. Em outras palavras, o único autovalor de um operador nilpotente é zero.

Resposta

O único autovalor de T é 0 (com multiplicidade algébrica igual à dimensão de V).

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