Encontre o que se pede:
(x-y)^t A(x-y).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão (x - y)^tA(x - y), onde x e y são vetores coluna em R^n e A é uma matriz ntimes n. O que vamos usar é a definição de transposta de soma de vetores e a distributividade do produto matricial.

Passo 2

Escrevendo (x - y)^tA(x - y) de forma explícita, temos
(x - y)^tA(x - y) = (x + (-y))^t ,A,(x + (-y))
Como transposta de uma soma é soma de transpostas, (x + (-y))^t=x^t+(-y)^t=x^t-y^t.

Passo 3

Agora aplicamos a distributividade do produto matricial:
(x^t-y^t),A,(x - y) = x^tA(x - y);-;y^tA(x - y)
De novo aplicamos distributividade em cada termo:
x^tA(x - y) = x^tAx ;-; x^tAy,
y^tA(x - y) = y^tAx ;-; y^tAy
Subtraindo estes, obtemos:

Passo 4

(x - y)^tA(x - y) = l(x^tAx - x^tAyr) -l(y^tAx - y^tAyr) = x^tAx - x^tAy - y^tAx + y^tAy

Passo 5

Observação: se a matriz A for simétrica, isto é A^t=A, então y^tAx=(x^tAy)^t=x^tAy. Nesse caso
(x - y)^tA(x - y) = x^tAx - 2,x^tAy + y^tAy

Resposta

(x - y)^tA(x - y) = x^tAx ;-; x^tAy ;-; y^tAx ;+; y^tAy,
e, se A é simétrica,
(x - y)^tA(x - y) = x^tAx - 2,x^tAy + y^tAy

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