O que diz a Regra de Rund?

Passo 1

Beleza, o enunciado pergunta: “O que diz a Regra de Rund?” Isso é um tópico de Cálculo Variacional, mais especificamente sobre como simplificar a equação de Euler–Lagrange quando seu integrando não depende do x explicitamente. Para resolver, a gente vai precisar entender a definição do funcional, a equação de Euler–Lagrange e ver o que ocorre se o integrando não “vê” o x diretamente.

Passo 2

Primeiro, lembra do funcional típico
J[y] ;=; integralx1^x2 Fl(x,,y,,y'r),dx,
e da equação de Euler–Lagrange
partial Fpartial y ;-; ddx!gl(partial Fpartial y'gr) = 0
Essa equação normalmente dá uma ODE de segunda ordem pra partial Fpartial x = 0, . Mas se F não depende explicitamente de x, ou seja
a gente consegue um “atalho” pra reduzir a ordem da equação.

Passo 3

Quando H = y',partial Fpartial y' ;-; F , existe uma quantidade que fica constante ao longo da solução dHdx = -,partial Fpartial x = 0 . Para ver isso, considere a “energia” de Legendre
F ;-; y',partial Fpartial y' = C,
Mostra-se (com uma derivada total e usando Euler–Lagrange) que
Logo é constante. Reescrevendo com sinal oposto, obtemos a famosa identidade de Beltrami (ou Regra de Rund):
onde é uma constante.

Passo 4

Então, na prática, se você tem um problema de otimização variacional e nota que o integrando F - y',Fy' = C não “vê” o diretamente, em vez de encarar uma equação de segunda ordem, você usa
para já pular pra uma equação de primeira ordem. Isso facilita (muito!) a busca pela solução.

Resposta

A Regra de Rund (ou identidade de Beltrami) diz que, quando o integrando F - y',partial Fpartial y' = constante não depende explicitamente de , a combinação
é preservada ao longo da solução .

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