O que diz a Regra de Rund?
Passo 1
Beleza, o enunciado pergunta: “O que diz a Regra de Rund?” Isso é um tópico de Cálculo Variacional, mais especificamente sobre como simplificar a equação de Euler–Lagrange quando seu integrando não depende do x explicitamente. Para resolver, a gente vai precisar entender a definição do funcional, a equação de Euler–Lagrange e ver o que ocorre se o integrando não “vê” o x diretamente.
Passo 2
Primeiro, lembra do funcional típico
e da equação de Euler–Lagrange
Essa equação normalmente dá uma ODE de segunda ordem pra
. Mas se F não depende explicitamente de x, ou seja
a gente consegue um “atalho” pra reduzir a ordem da equação.
Passo 3
Quando
, existe uma quantidade que fica constante ao longo da solução
. Para ver isso, considere a “energia” de Legendre
Mostra-se (com uma derivada total e usando Euler–Lagrange) que
Logo
é constante. Reescrevendo com sinal oposto, obtemos a famosa identidade de Beltrami (ou Regra de Rund):
onde
é uma constante.
Passo 4
Então, na prática, se você tem um problema de otimização variacional e nota que o integrando
não “vê” o
diretamente, em vez de encarar uma equação de segunda ordem, você usa
para já pular pra uma equação de primeira ordem. Isso facilita (muito!) a busca pela solução.
Resposta
A Regra de Rund (ou identidade de Beltrami) diz que, quando o integrando
não depende explicitamente de
, a combinação
é preservada ao longo da solução
.