- O que diz o Teorema de Fourier?
Passo 1
Beleza, o enunciado é simples: “O que diz o Teorema de Fourier?” Isso cai em Análise de Fourier, onde aprendemos a decompor sinais ou funções em ondas senoidais. Para responder, a gente vai precisar entender o que é uma função periódica, o conceito de série de Fourier e, na sequência, a ideia de transformada de Fourier para funções não periódicas.
Passo 2
Primeiro, a parte clássica do Teorema de Fourier para funções periódicas. Suponha que você tenha uma função
com período
(ou seja,
), que seja razoavelmente “bonitinha” (integrável e com descontinuidades isoladas). O teorema garante que dá para escrever
como uma soma infinita de senos e cossenos:
onde
é a frequência fundamental.
Passo 3
Calcular os coeficientes é tranquilo:
Essas fórmulas vêm de projetar
nas funções
e
, que formam uma base ortogonal. A ideia é bem parecida com decompor um vetor nos vetores de uma base.
Passo 4
Agora, o Teorema de Fourier também tem uma versão para funções não periódicas, que leva à Transformada de Fourier. Lá a soma infinita vira uma integral:
Isso significa que qualquer “sinal” razoável pode ser visto como combinação contínua de exponenciais complexas
.
Resposta
O Teorema de Fourier afirma que toda função “bem-comportada” (periódica ou não, com algumas condições de integrabilidade) pode ser representada como uma combinação linear (série) de senos e cossenos, ou, no caso geral, como uma integral (transformada) de exponenciais complexas.