1. O que diz o Teorema de Fourier?

Passo 1

Beleza, o enunciado é simples: “O que diz o Teorema de Fourier?” Isso cai em Análise de Fourier, onde aprendemos a decompor sinais ou funções em ondas senoidais. Para responder, a gente vai precisar entender o que é uma função periódica, o conceito de série de Fourier e, na sequência, a ideia de transformada de Fourier para funções não periódicas.

Passo 2

Primeiro, a parte clássica do Teorema de Fourier para funções periódicas. Suponha que você tenha uma função f(t) = a0 ;+;sumn=1^inftyl[ancos(nomega0 t)+bnsin(nomega0 t)r], com período (ou seja, ), que seja razoavelmente “bonitinha” (integrável e com descontinuidades isoladas). O teorema garante que dá para escrever como uma soma infinita de senos e cossenos:
onde é a frequência fundamental.

Passo 3

Calcular os coeficientes é tranquilo:
a0 = 1Tintegral0^Tf(t),dt, an = 2Tintegral0^Tf(t)cos(nomega0 t),dt, bn = 2Tintegral0^Tf(t)sin(nomega0 t),dt
Essas fórmulas vêm de projetar nas funções e , que formam uma base ortogonal. A ideia é bem parecida com decompor um vetor nos vetores de uma base.

Passo 4

Agora, o Teorema de Fourier também tem uma versão para funções não periódicas, que leva à Transformada de Fourier. Lá a soma infinita vira uma integral:
F(omega) = integral-infty^infty f(t),e^-,jomega t,dt longrightarrow f(t) = 12piintegral-infty^inftyF(omega),e^,jomega t,domega
Isso significa que qualquer “sinal” razoável pode ser visto como combinação contínua de exponenciais complexas .

Resposta

O Teorema de Fourier afirma que toda função “bem-comportada” (periódica ou não, com algumas condições de integrabilidade) pode ser representada como uma combinação linear (série) de senos e cossenos, ou, no caso geral, como uma integral (transformada) de exponenciais complexas.

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