Por que dizemos que o conjunto dos números racionais é denso?
Passo 1
Então, a questão é: Por que dizemos que o conjunto dos números racionais é denso? Vamos explorar isso usando conceitos de matemática básica e um pouco de teoria dos números. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser denso e como os números racionais se comportam na linha dos números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “ser denso”. Em matemática, dizemos que um conjunto é denso em outro se, entre quaisquer dois elementos desse conjunto maior, sempre existe pelo menos um elemento do conjunto denso. Por exemplo, se você tem dois números na linha dos reais, um conjunto denso garantirá que sempre há um número desse conjunto entre esses dois.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre os números racionais. Um número racional é qualquer número que pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Exemplos incluem
,
ou até mesmo
(que pode ser escrito como
).
Passo 4
Para mostrar que os números racionais são densos, vamos pegar dois números reais quaisquer, digamos
e
, onde
. Queremos provar que existe pelo menos um número racional entre
e
.
Passo 5
Vamos considerar a diferença entre
e
, que é
. Se multiplicarmos essa diferença por um número inteiro grande o suficiente, digamos
, podemos encontrar um inteiro
tal que:
Dividindo todos os lados por
Aqui,
é um número racional que está entre
e
.
Resposta
Portanto, entre quaisquer dois números reais, sempre existe um número racional. Isso confirma que o conjunto dos números racionais é denso nos números reais.