Calcule o volume do sólido cuja base é a região x^2+y^2 <= 4 e cujas secções transversais, tomadas perpendiculamente ao eixo x, são triângulos equiláteros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que tem como base a região definida pela equação x^2 + y^2 <= 4 (que é um círculo de raio 2) e que, em cada corte perpendicular ao eixo x, forma triângulos equiláteros. Para isso, vamos usar cálculo integral e entender um pouco sobre áreas de triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a base do sólido. A equação x^2 + y^2 <= 4 representa um círculo com centro na origem e raio 2. Isso significa que, para cada valor de x, o valor de y varia entre -raiz4 - x^2 e raiz4 - x^2. A largura desse intervalo em y é 2raiz4 - x^2, que será a base do nosso triângulo equilátero.

Passo 3

Agora, precisamos expressar a área do triângulo equilátero em função de x. A área A de um triângulo equilátero com lado b é dada por:
A = raiz34 b^2
No nosso caso, a base do triângulo é 2raiz4 - x^2, então substituindo:
A(x) = raiz34 (2raiz4 - x^2)^2 = raiz34 times 4(4 - x^2) = raiz3(4 - x^2)

Passo 4

Para encontrar o volume do sólido, vamos integrar a área das seções transversais ao longo do eixo x. Os limites de integração vão de x = -2 a x = 2, já que o raio do círculo é 2. Assim, o volume V é:
V = integral-2^2 raiz3(4 - x^2) , dx

Passo 5

Vamos calcular a integral:
V = raiz3 integral-2^2 (4 - x^2) , dx
Integrando termo a termo:
integral (4 - x^2) , dx = 4x - x^33
Avaliado de -2 a 2:
V = raiz3 [ (4(2) - 2^33) - (4(-2) - (-2)^33) ]
Simplificando:
V = raiz3 [ (8 - 83) - (-8 + 83) ] = raiz3 ( 163 + 163 ) = raiz3 times 323

Resposta

O volume do sólido é dfrac32,raiz33 unidades de volume.

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