Calcule o volume do sólido cuja base é a região
e cujas secções transversais, tomadas perpendiculamente ao eixo
, são triângulos equiláteros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que tem como base a região definida pela equação
(que é um círculo de raio 2) e que, em cada corte perpendicular ao eixo
, forma triângulos equiláteros. Para isso, vamos usar cálculo integral e entender um pouco sobre áreas de triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a base do sólido. A equação
representa um círculo com centro na origem e raio 2. Isso significa que, para cada valor de
, o valor de
varia entre
e
. A largura desse intervalo em
é
, que será a base do nosso triângulo equilátero.
Passo 3
Agora, precisamos expressar a área do triângulo equilátero em função de
. A área
de um triângulo equilátero com lado
é dada por:
No nosso caso, a base do triângulo é
, então substituindo:
Passo 4
Para encontrar o volume do sólido, vamos integrar a área das seções transversais ao longo do eixo
. Os limites de integração vão de
a
, já que o raio do círculo é 2. Assim, o volume
é:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Avaliado de
a
:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é
unidades de volume.