Por que dizemos que o conjunto dos números racionais é enumerável?
Passo 1
Então, a gente está perguntando por que a gente diz que o conjunto dos números racionais é enumerável. Isso está ligado ao estudo de conjuntos e à ideia de contagem, que faz parte da matemática discreta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números racionais e o que significa um conjunto ser enumerável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são números racionais. São números que podem ser expressos como uma fração
, onde
e
são inteiros e
é diferente de zero. Por exemplo,
,
, etc.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa um conjunto ser enumerável (ou contável). Um conjunto é enumerável se a gente consegue listar seus elementos em uma sequência, mesmo que essa lista seja infinita. Em outras palavras, dá para colocar todos os elementos do conjunto em correspondência um a um com os números naturais
.
Passo 4
Para mostrar que os números racionais são enumeráveis, precisamos criar uma maneira de listar todos eles sem deixar nenhum de fora. Uma técnica comum é organizar os racionais em uma tabela ou grade, onde as linhas representam os numeradores e as colunas os denominadores.
Passo 5
Vamos imaginar uma grade onde cada célula
representa o número racional
. Aí, a gente percorre essa grade em uma ordem específica, como em uma espiral ou diagonal, garantindo que todas as frações sejam consideradas.
Passo 6
Durante esse processo, a gente também precisa eliminar as frações que são equivalentes. Por exemplo,
e
representam o mesmo número racional. Isso evita que a lista fique repetida e garante que cada número racional apareça apenas uma vez.
Passo 7
Se a gente conseguir listar todos os números racionais sem deixar nenhum de fora e sem repetições, isso significa que os racionais são enumeráveis. Como conseguimos fazer essa listagem, concluímos que o conjunto dos números racionais é, de fato, enumerável.
Resposta
Portanto, dizemos que o conjunto dos números racionais é enumerável porque conseguimos listar todos eles de forma ordenada e sem deixar nenhum de fora, estabelecendo uma correspondência um a um com os números naturais.