Por que dizemos que o conjunto dos números racionais é enumerável?

Passo 1

Então, a gente está perguntando por que a gente diz que o conjunto dos números racionais é enumerável. Isso está ligado ao estudo de conjuntos e à ideia de contagem, que faz parte da matemática discreta. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números racionais e o que significa um conjunto ser enumerável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números racionais. São números que podem ser expressos como uma fração ab, onde a e b são inteiros e b é diferente de zero. Por exemplo, 12, -34, etc.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa um conjunto ser enumerável (ou contável). Um conjunto é enumerável se a gente consegue listar seus elementos em uma sequência, mesmo que essa lista seja infinita. Em outras palavras, dá para colocar todos os elementos do conjunto em correspondência um a um com os números naturais 1, 2, 3, dots.

Passo 4

Para mostrar que os números racionais são enumeráveis, precisamos criar uma maneira de listar todos eles sem deixar nenhum de fora. Uma técnica comum é organizar os racionais em uma tabela ou grade, onde as linhas representam os numeradores e as colunas os denominadores.

Passo 5

Vamos imaginar uma grade onde cada célula (a, b) representa o número racional ab. Aí, a gente percorre essa grade em uma ordem específica, como em uma espiral ou diagonal, garantindo que todas as frações sejam consideradas.

Passo 6

Durante esse processo, a gente também precisa eliminar as frações que são equivalentes. Por exemplo, 12 e 24 representam o mesmo número racional. Isso evita que a lista fique repetida e garante que cada número racional apareça apenas uma vez.

Passo 7

Se a gente conseguir listar todos os números racionais sem deixar nenhum de fora e sem repetições, isso significa que os racionais são enumeráveis. Como conseguimos fazer essa listagem, concluímos que o conjunto dos números racionais é, de fato, enumerável.

Resposta

Portanto, dizemos que o conjunto dos números racionais é enumerável porque conseguimos listar todos eles de forma ordenada e sem deixar nenhum de fora, estabelecendo uma correspondência um a um com os números naturais.

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