Dizemos que duas superfícies
e
são tangentes em um ponto P se o plano tangente a
em P coincidir com o plano tangente a
em P. Demonstrar que o cone
e a esfera
são tangentes entre si nos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para mostrar que um cone e uma esfera são tangentes nos pontos
e
. Isso está relacionado ao estudo de superfícies e como elas se tocam em certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os planos tangentes de cada superfície nesses pontos e verificar se eles coincidem.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o cone dado pela equação
. Queremos encontrar o plano tangente a esse cone no ponto
.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto, usamos as derivadas parciais. A equação geral do plano tangente a uma superfície
no ponto
é:
Passo 4
Aplicando isso ao cone, definimos
. Calculamos as derivadas parciais:
No ponto
:
Portanto, a equação do plano tangente ao cone no ponto
é:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para a esfera dada por:
Vamos chamá-la de
.
Passo 6
Calculamos as derivadas parciais de
:
No ponto
:
Passo 7
A equação do plano tangente à esfera no ponto
é:
Simplificando:
Passo 8
Observamos que a equação do plano tangente ao cone e ao plano tangente à esfera no ponto
são iguais:
Isso significa que os planos tangentes coincidem nesse ponto.
Resposta
Os planos tangentes do cone e da esfera coincidem nos pontos
e
, demonstrando que as superfícies são tangentes nesses pontos.