Dizemos que duas superfícies S1 e S2 são tangentes em um ponto P se o plano tangente a S1 em P coincidir com o plano tangente a S2 em P. Demonstrar que o cone x^2a^2+y^2b^2=z^2c^2 e a esfera x^2+y^2+(z-b^2+c^2c)^2=b^2c^2(b^2+c^2) são tangentes entre si nos pontos (0, b, c) e (0,-b, c).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para mostrar que um cone e uma esfera são tangentes nos pontos (0, b, c) e (0, -b, c). Isso está relacionado ao estudo de superfícies e como elas se tocam em certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os planos tangentes de cada superfície nesses pontos e verificar se eles coincidem.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o cone dado pela equação x^2a^2 + y^2b^2 = z^2c^2. Queremos encontrar o plano tangente a esse cone no ponto (0, b, c).

Passo 3

Para encontrar o plano tangente a uma superfície em um ponto, usamos as derivadas parciais. A equação geral do plano tangente a uma superfície F(x, y, z) = 0 no ponto (x0, y0, z0) é:
partial Fpartial x(x0, y0, z0)(x - x0) + partial Fpartial y(x0, y0, z0)(y - y0) + partial Fpartial z(x0, y0, z0)(z - z0) = 0

Passo 4

Aplicando isso ao cone, definimos F(x, y, z) = x^2a^2 + y^2b^2 - z^2c^2. Calculamos as derivadas parciais:
partial Fpartial x = 2xa^2, partial Fpartial y = 2yb^2, partial Fpartial z = -2zc^2
No ponto (0, b, c):
partial Fpartial x = 0, partial Fpartial y = 2bb^2 = 2b, partial Fpartial z = -2cc^2 = -2c
Portanto, a equação do plano tangente ao cone no ponto (0, b, c) é:
0(x - 0) + 2b(y - b) - 2c(z - c) = 0
Simplificando:
2b(y - b) - 2c(z - c) = 0 implies y - bb = z - cc

Passo 5

Agora, vamos fazer o mesmo para a esfera dada por:
x^2 + y^2 + (z - b^2 + c^2c)^2 = b^2c^2(b^2 + c^2)
Vamos chamá-la de G(x, y, z) = x^2 + y^2 + (z - b^2 + c^2c)^2 - b^2c^2(b^2 + c^2) = 0.

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais de G:
partial Gpartial x = 2x, partial Gpartial y = 2y, partial Gpartial z = 2(z - b^2 + c^2c)
No ponto (0, b, c):
partial Gpartial x = 0, partial Gpartial y = 2b, partial Gpartial z = 2(c - b^2 + c^2c) = 2(c^2 - b^2 - c^2c) = -2b^2c

Passo 7

A equação do plano tangente à esfera no ponto (0, b, c) é:
0(x - 0) + 2b(y - b) - 2b^2c(z - c) = 0
Simplificando:
2b(y - b) - 2b^2c(z - c) = 0 implies y - bb = z - cc

Passo 8

Observamos que a equação do plano tangente ao cone e ao plano tangente à esfera no ponto (0, b, c) são iguais:
y - bb = z - cc
Isso significa que os planos tangentes coincidem nesse ponto.

Resposta

Os planos tangentes do cone e da esfera coincidem nos pontos (0, b, c) e (0, -b, c), demonstrando que as superfícies são tangentes nesses pontos.

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